4.2.1. ДЕДУКТИВНЫЙ ВЫВОД С НЕОПРЕДЕЛЕННЫМИ ПОСЫЛКАМИ

В данном разделе предполагается, что мы имеем дело с четкими высказываниями, но наши базовые знания, позволяющие установить их истинность, неполны В соответствии с разд 4.1.4 неопределенность, относящаяся к истинности высказывания оценивается с помощью квазимеры, которая будет выражаться мерой возможности или необходимости Согласно данной точке зрения неопределенность, относящаяся к посылке «если то будет оцениваться через неопределенность, содержащуюся в высказывании или как неопределенность обусловливания высказывания высказыванием

Правила «модус поненс” и «модус толленс” с неопределенными посылками. Пусть П - мера возможности на булевой решетке высказываний двойственная ей мера необходимости. В работах [14, 35] предлагаются следующие расширения правил «модус поненс” и «модус толленс”

Окончание табл.

Правила (I) и (IV) получаются с учетом того, что это приводит к выражению Правила (II) и (V) получаются с учетом того, что откуда что в итоге дает

Правило (III) легко проверить, поскольку

Однако если известно только, что то нельзя сделать никаких заключений относительно ни на основе ни на основе Комбинируя вместе схемы «модус поненс” вида (I), (II) (III), получаем

причем во всех случаях Для вероятностных мер уже были известны правила вывода, аналогичные правилам (VI) [43] и

Они остаются справедливыми, если вероятности заменить на меры доверия [69, 62,59].

Точно так же можно было бы сгруппировать схемы вывода (IV) и (V) по правилу «модус толленс”. Другую схему вывода можно построить, сгруппировав правила (I) (II), (IV), (V) в виде

Согласно последнему правилу рассуждения ведутся на основе взвешиваний по эквивалентности между высказываниями и Число а показывает, в какой степени высказывание является достаточным для того, чтобы из него следовало а число а — в какой степени высказывание является необходимым для этого. Отметим, что во всех предложенных правилах, если ограничить коэффициенты , с значениями 0 или 1, то нижние границы оценки высказывания совпадут с операциями конъюнкции, в то время как верхние границы будут операциями импликации. В правиле (IX) интервалы, содержащие и включают и интервалы, ограничивающие значения соответственно. Эти интервалы не расширяются, если данная процедура применяется повторно с использованием для величин интервалов, полученных для соответственно.

Условные меры истинности на неопределенных высказываниях [14]. Правило «если то — частично определяет функцию из в в виде условной меры возможности где характеризует возможность того, что высказывание можно дедуктивно вывести из высказывания Мера возможности неявно задается следующим тождеством, получаемым из уравнения

когда известна мера возможности П на множестве высказываний которая выражает наши знания об истинности высказываний Здесь — операция конъюнкции, например операция взятия минимума, которая предполагается непрерывной и удовлетворяющей условиям:

Операция есть треугольная норма, примерами которой являются произведение, а также Наименее специфичная условная мера возможности представляет собой наибольшее решение уравнения (4.42). Следовательно (всегда существующую), условную меру возможности П можно определить выражением

Поскольку здесь и - четкие высказывания, то из формулы (4.42) можно вывести

Формулы (4.44) и (4.45) обобщают правило «модус поненс поскольку из того, что следует Формула (4.42) индуцирует неравенство откуда получаются следующие правила вывода типа «модус поненс” и «модус толленс” соответственно:

Их можно объединить в одно общее правило, подобное правилу IX:

Формулу (4.45) можно переписать в терминах меры необходимости, полагая откуда

где е. если то . В более общем случае 1 — операция дизъюнкции, удовлетворяющая свойствам.

Из выражения (4.46) получаем неравенство что дает схемы рассуждений типа «модус поненс” и «модус толленс” соответственно:

если а Они объединяются в схему рассуждений по эквивалентности

Заметим, что правила вывода (XIII) — (XV) не зависят от вида операции которая определяет условную меру Известны вероятностные схемы вывода, основанные на понятии условной вероятности и аналогичные правилам (XIII) - (XIV) [43].

если Замечание Условные меры необходимости которые одновременно присутствуют в схеме (XV), можно интерпретировать соответственно как степени «достаточности” и «необходимости” того, что высказывание истинно, коща высказывание

истинно Эта идея введения мер достаточности и необходимости, связанных с правилом вывода, лежит в основе системы приближенных рассуждений экспертной системы PROSPECTOR [15]; там она разрабатывалась в рамках вероятностного байесовского подхода

Синтез. Отметим, что в обоих подходах, как в логическом, так и в функциональном, интервалы значений необходимости, возможности или вероятности всегда имеют вид где - операция конъюнкции, а — операция импликации, которая определяется на основе операции конъюнкции в виде [32,47, 61 ]

Этот результат пригоден как для схем вывода на основе материальной импликации, так и для схем вывода с условными мерами. Вероятностные схемы вывода обеспечивают большую точность результатов, когда используется подход с применением условных мер истинности. В случае возможностных схем это не гак, поскольку схемы (IX), (XII) и (XV) дают точно такие же результаты в терминах значений необходимости, не сравнимые с прежними результатами в терминах возможностей (за исключением того случая, когда а в схеме (XII) (что порождает интервал, содержащий все другие интервалы) Кроме того, ряд схем не позволяет получать нетривиальный вывод; эти схемы — не одни и те же в рамках отмеченных двух подходов.

Схемы вывода, основанные на операции импликации, и схемы вывода по условной мере истинности становятся очень близкими друг к другу, кот да треугольная норма, характеризующая условную меру возможности, определяется операцией взятия минимума (см. работу [71]). В этом случае из формулы (4.43) следует, что

Видно, что условная мера возможности очень близка к мере точнее, условная мера необходимости близка к мере необходимости импликации поскольку

Этот результат поясняет, почему схемы вывода (IX) и (XV) тождественны (если только нет ограничений на в схеме Тогда при можно показать, что схема вывода, описываемая формулами (4 44), (4.45) и основанная на условной мере возможности, согласуется с противоположной схемой, основанной на мерах необходимости и логической импликации, а именно

Эта схема вывода слабее той, что определяется формулами (4.44), (4 45). Она включает схемы (I) и (V) и может записываться в матричной форме,

где произведение матриц определяется с помощью операций операций сложения и умножения в обычном произведении матриц):

О взаимосвязи между можно узнать из работы [63]. В частности, вес относится к правилу: «если то как это видно из вышеизложенных результатов. Более систематически формулы (4.44), (4.45), представленные в матричной форме, используются применительно к задаче автоматизации приближенных рассуждений в работе [66] Отметим, что в рамках вероятностного подхода логическая импликация и вывод по условной вероятности не столь близки друг к другу (это показано в работе [63]).

В заключение следует обратить внимание на то, что в целом эти два подхода совпадают, поскольку они приводят к очень похожим расчетам со степенями неопределенности. Все это наводит на мысль о том, что данные расчеты имеют общее основание, хотя исследования такого типа все еще находятся на начальной стадии. Кроме того, на практике далеко не всегда можно уточнить у эксперта сведения о конкретном математическом характере (вероятность, возможность, необходимость) предлагаемого им распределения, а также узнать, следует ли понимать правило- «если р, то q” — как материальную или как условную импликацию. Такая неопределенность компенсируется малой чувствительностью получаемых результагов по отношению к этим двум факторам.

Замечание Третий подход состоит в непосредственном использовании интерпретаций импликации в многозначных логиках для представления правила, «если то Получаемые при этом результаты подобны изложенным выше (подробнее см работы [34, 36]). Этот подход лежит в основе схемы рассуждений, используемых в системе логического вывода данная схема соответствует правилу (XII), где заменяется степенью истинности импликации (построенной по правилу импликации Лукасевича, тес использованием операций а на - степенью истинности высказывания Однако здесь возникает проблема интерпретации в интервале значений степеней истинности, связываемых с четкими высказываниями.