1.6. ПРАКТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИЙ ЛРИНАДЛЕЖНОСТИ

Один из вопросов, возникающих при изучении теории нечетких множеств: «Как найти функции принадлежности?” Следует различать случаи, когда нечеткое множество F отражает представление субъекта о некоторой расплывчатой категории, и случаи, когда множество F строится по статистическим данным.

1 6.1 РАСПЛЫВЧАТАЯ КАТЕГОРИЯ, ВОСПРИНИМАЕМАЯ СУБЪЕКТОМ

Прежде всего следует различать простые категории, определенные на объективном линейно-упорядоченном универсальном множестве (например, «большой”), и сложные категории, которые требуют одновременного рассмотрения нескольких универсумов («коренастый”) и в которых даже сами универсальные шкалы определимы с трудом («красивый”).

Вначале обратимся к простым категориям. В этом случае оценка функции принадлежности есть задача теории психологических измерений (см., например, руководство Крантца, Льюса, Суппеса, Тверски [19]). Функция принадлежности строится с помощью опросника. В основном функция принадлежности на определяет порядок элементов, и именно этот порядок важен для нас. Так, соотношение означает, что есть более чем Норвич и Турксен [22] установили связь между классическими психометрическими теориями и оцениванием функции принадлежности если мы в состоянии задать отношение порядка в широком смысле, всюду определенное на с наибольшим и наименьшим элементами, то мы можем представить категорию нечетким множеством, функция принадлежности которого единственна с точностью до некоторого строго возрастающего преобразования. Если желательна большая точность, то надо найти более богатую структуру порядка, а именно порядка в широком смысле, всюду определенного на При этом пары сравниваются по принадлежности к нечеткому множеству причем неравенство означает, что есть в большей степени по отношению к чем по отношению к . С помощью ряда аксиом согласованности и полноты (в частности, универсальное множество должно быть континуумом) Норвич и Турксен показывают, что функция принадлежности единственна с точностью до возрастающего аффинного преобразования, т. е. единственна на [0, 1] в случае, если известны носитель и ядро нечеткого множества Практические методы определения функций принадлежности, основанные на психометрических методиках, активно разрабатываются в

настоящее время (см., например, Циммерманн и Цисно [38]). На практике можно задать приближенное представление формы функции которое достаточно для реальных приложений. Если универсальное множество, специфическое для категории, та легко получить от субъекта описание ядра и носителя Здесь ядро содержит все прототипы для расплывчатой категории, а носитель получается при исключении тех объектов, которые совсем не соответствуют этой категории. Использование графических средств информатики (световоеоперо и т. п.) может облегчить сбор информации о значениях на позволяя избежать явного употребления числовых значений принадлежности. Другой подход заключается в использовании параметризованных представлений функции и обращений к опроснику с целью определения значений параметра Эти два метода наиболее успешно применяются при сборе нечетких данных (см. гл. 2)

Отметим, что вовсе не обязательно располагать точными значениями степеней принадлежности. Небольшая ошибка в определении границ ядра или носителя и вообще в определении степени принадлежности объекта классу будет менее значимой, чем при представлении данной категории обычным множеством (интервалом), т. е. когда границы соответствующего множества суть точки разрыва функции . К тому же не всегда ясна интерпретация этих границ: содержат ли они прототипы категории Характеризуют ли они сколько-нибудь связанные между собой объекты? Или они определяют промежуточное множество

Другой аргумент, подкрепляющий мысль о том, что на практике достаточно приближенного представления функции заключается в следующем ошибка не будег возрастать при комбинировании нечетких множеств как с помощью операций (1.45) — (1.47), определенных выше, так и с помощью методов теории возможности, поскольку при этом большей частью используются лишь операции нахождения минимума и максимума (например, в гл. 2 для вычисления нечетких интервалов)

В случае более сложной категории, универсальное множество которой определяется декартовым произведением линейных шкал, функцию принадлежности можно получить за счет свертывания исходной информации Например, рассмотрим случай, когда некоторую категорию можно описать в виде дерева простых категорий и связок естественного языка, таких как И, ИЛИ и т. д. Это приводит к задаче идентификации каждой простой категории и (приближенного) определения нечетких теоретико-множественных операций, которые можно использовать для описания этих связок Однако при этом следует выбрать более широко понимаемые операции, чем определяемые формулами (1.45) — (1.47), что и обсуждается в гл. 3 (см также работу [38]).

Наконец, когда мы имеем дело с категорией, для которой трудно определить универсальное множество (ввиду отпечатка субъективности нет общего согласия по ее поводу), можно условиться о применении некоторого множества, состоящего из небольшого числа эталонных значений или состояний, в случае необходимости упорядоченных, которое и станет универсумом Каждое лингвистическое значение, относящееся к рассматриваемому

понятию, будет тогда представлено нечетким подмножеством данного универсума. В этом случае достаточно ограничиться небольшим числом «типовых” значений принадлежности.