4.2.5 РАССУЖДЕНИЯ С НЕЧЕТКИМИ КВАНТИФИКАТОРАМИ

Такое неопределенное высказывание, как «Все птицы летаюг», которому ставится в соответствие степень необходимости плохо выражает специфику правила «в основном птицы летают»; здесь степень необходимости, скорее, указывает, что с уровнем достоверности а все птицы летают. Как подчеркивается в работе [60], неопределенное высказывание соответствует, скорее, догадке, предположению, чем общему правилу, т. е. в вышеприведенном примере — высказыванию, которое либо истинно для всех птиц, либо ложно (поскольку оно не выполняется хотя бы для одной птицы), но какой конкретно — неизвестно

Зато при рассмотрении общего закона именно квантификаторы больше не считаются четкими, как обычные кванторы общности или существования, а интерпретируются как промежуточные Так, в работе [76] описаны специальные логики, выходящие за рамки классической логики, в которых работают с подобными общими законами без определения промежуточных квантификаторов в явном виде. В работах Заде [78, 79] предложен подход к этой проблеме, согласно которому промежуточные квантификаторы рассматриваются как нечетко определенные относительные, величины, представляющие термины естественного языка, такие как «большинство”, «несколько” и др. Рассмотрим силлогизмы, в которых присутствуют высказывания с нечеткими квантификаторами, моделируемыми нечеткими подынтервалами

интервала Например, силлогизм типа «пересечение — произведение” имеет вид

где А, В и С — обычные множества; — произведение нечетких величин (см. гл. 2), а — нечеткое множество возможных значений, характеризующих относительное число элементов А в В или в более общем случае условную вероятность Аналогично определяется и нечеткое множество Более того, предполагается, что - нечеткие интервалы, удовлетворяющие условию (см. рис. 4.2), и характеризующие такие квантификаторы, как «большинство”, ”не менее 70 %” и др. Результирующий квантификатор должен удовлетворять тождеству

Важно отметить, что схемы рассуждений, справедливые с кванторами общности, становятся некорректными, когда эти кванторы несколько ослаблены. Например, силлогизм есть есть С

где означает выполняется при но как только , то уже нельзя ничего определенного сказать о доле А в Г, т. е. эта доля может принимать какое угодно значение в интервале [0, 1], что можно символически записать в виде Если еще известно, что

то можно показать, что когда - нечеткие интервалы, такие, что то [65]

где - расширенные на случай нечетких величин операции взятия максимума, вычитания и деления (см. гл. 2). Этот результат позволяет расширить следующее утверждение на случай нечетких величин: если то с помощью вероятностных законов можно показать справедливость неравенства

Из вышеприведенных примеров можно видеть, что трактовка нечетких силлогизмов, предложенная Заде, - не что иное, как вариант вероятностной логики, выраженной в терминах условных вероятностей, в предположении, что значения вероятностей известны лишь в форме нечетких интервалов, а не точных чисел или обычных интервалов.

Рис. 4.2

Замечание Степень истинности высказывания вида ”QA есть В” вычисляется следующим образом [51]

при условии, что известно множество пар . Ягер предложил другую трактовку анализа высказываний с нечеткими квантификаторами, не связанную с условными вероятностями (см. разд. 3.1.3).

Хотя высказывание характеризуемое некоторой степенью субъективной уверенности (вероятности, необходимости, доверия), выражает, скорее, предположение, чем общий закон с исключениями, мы заметим, что применительно к частному случаю общий закон порождает некоторое особое предположение, справедливое при отсутствии другой информации. Это предположение может выражаться в виде неопределенного высказывания в смысле, раскрытом в разд. 4.2.1.