2.4. ДРУГИЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЙ С НЕЧЕТКИМИ ВЕЛИЧИНАМИ

В разд. 2.2 и 2.3 предполагалось, что все нечеткие величины в вычисляемых выражениях соответствуют невзаимодействующим переменным. Когда это не справедливо, принцип обобщения требуется видоизменить так, чтобы учесть взаимодействие переменных. В первой части этого раздела рассматривается случай, когда это взаимодействие линейно. Отсутствие связи между переменными ведет к накоплению неточности от каждой отдельной нечеткой переменной, причем возрастание неточности невозможно компенсировать (речь об этом шла в разд. 2.2.2). В таких случаях расчет нечетких величин называется пессимистическим. Во второй части этого раздела излагаются основы оптимистического расчета нечетких величин, когда степень компенсации между различными источниками неточности максимальна. Соответствующие методы возникли в связи с решением уравнений с нечеткими величинами.

2.4.1. ПЕССИМИСТИЧЕСКИЙ РАСЧЕТ НЕЧЕТКИХ ВЕЛИЧИН С ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИМИ ПЕРЕМЕННЫМИ

Ранее при отыскании области изменения функции предполагалось, что переменные х и у не связаны между собой, т. область изменения пары — это декартово произведение нечетких интервалов определенное с помощью оператора

Если это не так, то существует связь между переменными х и у из в форме отношения определяющего некоторую область в . Тогда принцип обобщения принимает вид

Здесь отношение может в частном случае сводиться к функциональной связи типа

Замечание. Отметим, что вычисление функции на основе несобственного представления способом, изложенным в разд. 2.2.4, является частным случаем использования формулы (2.39). Например, вычисление можно рассматривать как вычисление расширенного произведения , где обе переменные х и у, характеризующие две возможности появления М, связаны между собой ограничением вида равенства.

Можно также вообразить случай, когда — нечеткое отношение, определяющее более или менее допустимые области значений пары Тогда формулу (2.39) можно записать так:

Изучение свойств и тем более вычисление функции в общем случае может вызывать большие затруднения. Поэтому ниже дается представляющий практический интерес пример расчета с взаимодействующими переменными, когда это взаимодействие линейно и возможны анализ и вычисление функции Более подробно этот случай исследуется в работах авторов [9 и 10].

Заданы переменных каждая из которых ограничена нечетким интервалом Требуется найти функцию распределения возможностей для переменной где — постоянные действительные коэффициенты, если известно, что переменные связаны между собой ограничением определяющим область Пусть — нечеткое множество возможных значений . В работе [10] показано, что

Если это значение меньше 1, то можно в соответствии с предложением 2.2 при вычислении заменить величиной Здесь условие означает, что существует такой вектор принадлежащий декартову произведению ядер нечетких интервалов который удовлетворяет ограничению

Если — нечеткие интервалы с функциями принадлежности, полунепрерывными сверху, и компактным носителем, то — нечеткий интервал с функцией принадлежности, полунепрерывной сверху, и вычисляется по При этом границы интервала можно определить в явном виде как функцию границ интервалов Например, если

Если все - нечеткие интервалы то, когда нечеткий интервал нормален, он также является нечетким интервалом Если то , где значения определяются из условии соответственно. В формулах (2.41) и буквой обозначен носитель, а символ означает ядро.

В случае, когда переменные X связаны между собой каким-то линейным отношением, простой заменой переменной типа соответствующее выражение можно привести к нормальной форме

В работе приводится алгоритм вычисления величины когда нечеткие интервалы с распределениями Показано, что.

если — положительные нечеткие интервалы с полунепрерывными сверху функциями принадлежности и компактным носителем, то величина (интерактивная сумма произведений нечетких интервалов) — также положительный нечеткий интервал с полунепрерывной сверху функцией принадлежности, а множество уровня получается на основе множеств уровня

величина определяется по формуле (2.41), если положить , а величина — по формуле (2.42), если положить

Большой интерес к расчету величины объясняется открывающейся возможностью оценки математических ожиданий в тех случаях, когда значения вероятностей точно не известны. Тогда эти значения рассматриваются как нечеткие интервалы с носителем на [0, 1], связанные с переменными которые должны удовлетворять условию нормировки вероятностей