4.3.3. ИНТЕРПРЕТАЦИЯ НЕЧЕТКИХ ПРАВИЛ, ОСНОВАННЫХ НА ИМПЛИКАЦИИ ГЕДЕЛЯ

Если то выражение (4 63) записывается в виде

Когда А — обычное множество, правило: «если X есть А, то есть В” — выражает, что значение ограничено функцией принадлежности если переменная X принимает свои значения из множества А. Нам ничего не известно об если . Когда А — нечеткое множество, но А вырождается в одноточечное подмножество легко проверить, что по формуле (4.64) имеем

и в других случаях

Все это позволяет выразить смысл правила, «если X есть А, то Y есть В” следующей схемой если переменная X принимает свои значения на носителе нечеткого множества А, то переменная принимает свои значения на носителе нечеткого множества В, причем нечеткость множеств А и В позволяет уточнить, что чем дальше значение переменной А отстоит от ядра нечеткого множества А, тем возможнее, что и соответствующее значение

переменной удалено от ядра нечеткого множества В. Вследствие этого если В — четкое множество, то заключение правила не меняется, когда выходит за пределы ядра нечеткого множества А, но остается внутри его носителя. Такое поведение противоречит интуитивным представлениям; во всяком случае, эта модель делает бесполезным учет нечеткости условия. ”Х есть А”, когда В — четкое множество.

В ряде практических случаев, когда А - нечеткое множество, смысл правила может выражаться в виде: «чем в большей степени X есть А, тем достовернее, что есть Это означает, что по мере удаления X от ядра нечеткого множества А заключение: ”Y есть В” — становится все более и более неопределенным. Условное распределение возможностей, определенное выше, не отражает постепенности этого нарушения заключения, так как при выходе за пределы носителя происходит резкий переход от заключения к полной неопределенности.

Для представления неточных правил вида, «чем в большей степени X есть тем больше уверенность, что есть В” — можно использовать контрапозицию импликации Геделя при т. е. условное распределение

что приводит к выражению где задается формулой (4.47) при Тогда правило: «Если Y не есть B, то X не есть А” — моделируется с помощью выражения (4.63) и используется как правило «модус толленс”. Легко убедиться, что при имеем

в остальных случаях.

Итак, правило интерпретируется здесь следующим образом: «Если переменная X принимает свое значение в ядре А нечеткого множества А, то переменная принимает свое значение в ядре нечеткого множества однако данное заключение становится все более неопределенным по мере удаления от ядра нечеткого множества А вплоть до полной неопределенности при достижении границ носителя нечеткого множества А. Указанный ранее эффект разрыва, наблюдаемый при использовании непосредственно импликации Геделя, здесь исчезает.

Когда В - четкое множество, интерпретация правила - «если X есть А, то есть В” — с помощью условного распределения возможностей более удовлетворительна, чем с помощью условного распределения поскольку заключение меняется при удалении за пределы ядра нечеткого множества А С другой стороны, его представление непосредственно в виде (4.63) кажется более подходящим, если множество А — четкое (со соображениям симметрии). Когда А и В — нечеткие множества, то, если стремиться к сохранению свойства при в качестве правила «модус поненс” предпочтительнее использовать непосредственно импликацию Геделя.

Нечеткие правила с неопределенными заключениями. Правило вида: «если X есть А, то Y есть В” с весовым коэффициентом а, характеризующим неопределенность и рассматриваемым как нижняя граница степени необходимости, может пониматься двояко

либо считается, что весовой коэффициент а относится к заключению: ”Y есть В” (когда известно, что условие ”Х есть А” - вполне справедливо); в этом случае неопределенное правило эквивалентно нечеткому правилу вида - «если X есть А, то Y есть В”, где , в соответствии со способом моделирования неточных и неопределенных фактов, предложенным в разд. 4.1;

либо считается, что весовой коэффициент а относится ко всему правилу; в этом случае если - условное распределение, выражающее правило без учета неопределенности, то условное распределение для правила, учитывающего неопределенность, имеет вид

Отметим, что если выражается с помощью формулы (4.63), то

Эти два подхода не эквивалентны друг другу, кроме того случая, когда А — четкое множество. В этом случае всегда можно записать

что и показывает эквивалентность этих двух подходов.

Если правило «если X есть А, то Y есть В” — является неопределенным правилом, т. е. когда А и В - обычные множества, и если а и а — оценки соответственно степени необходимости и степени достаточности того, чтобы из правила. ”Х есть А” - следовало бы правило. ”Y есть В”, то примем (см., например, [73])

что фактически эквивалентно двум правилам: «если X есть есть В достоверно со степенью те не есть В возможно со степенью и «если X не есть А, то не есть В достоверно со степенью Полагая есть А” и есть В” и учитывая, что условное распределение тгуге характеризуется четырьмя значениями можно убедиться, что формула дня обобщенного правила «модус поненс” (4.64) сводится к формулам (4.44), (4.45), когда А имеет вид ”Х есть А достоверно со степенью и возможно со степенью (где если положить