6.2. РАСШИРЕННАЯ РЕЛЯЦИОННАЯ АЛГЕБРА И СВЯЗЫВАЕМЫЙ С НЕЙ ЯЗЫК ЗАПРОСА

6.2.1. ОБОБЩЕНИЕ ОПЕРАЦИИ ОТБОРА

Основные характеристики. Операция -отбора состоит в нахождении строк некоторого отношения, составляющие которого удовлетворяют заданному условию (простому или составному) Следовательно, эта операция играет большую роль в построении языка запроса. Операция -отбора, применяемая к отношению при условии С, обозначается через Составное условие С строится на основе простых условий с помощью логических связок (отрицания, конъюнкции, дизъюнкции). При этом различают два типа простых условий: условия вида содержащие два атрибута А и В и отношение сравнения 0, а также условия вида включающие один атрибут А и одну константу а, которая может быть четкой или нечеткой. В обычной реляционной алгебре в качестве отношения сравнения выступают равенство неравенства . В рамках нашего подхода можно представить вариант (четкого или нечеткого) сравнения с помощью функции принадлежности определенной на декартовом произведении двух областей и принимающей свои значения в интервале [0, 1]; таким образом можно моделировать такие отношения сравнения, как «примерно равен”, «значительно больше, чем” и т. д.

Использование функций распределения возможностей с целью ограничения возможных значений каждого атрибута индуцирует меру возможности и меру необходимости, служащих для оценки удовлетворения заданного условия некоторой строкой. Напомним, что меры возможности и необходимости, построенные по некоторой функции распределения возможностей определяются для нечеткого отношения соотношениями (см. формулы (1 63) и (1.66))

и

Таким образом, в результате -отбора получаем два нечетких множества: множество строк отношения которые, возможно, удовлетворяют условию С, и множество строк, которые с необходимостью удовлетворяют условию С, где степень принадлежности соответствует мере возможности и мере необходимости. В работах [22, 23, 25] для случая неполной, но четкой информации также проводились различия между множеством строк, которые достоверно удовлетворяют некоторому запросу, и множеством строк, которые, возможно, удовлетворяют этому же запросу.

Мы запишем

с целью выразить, что результат -отбора есть пара нечетких множеств. Когда функция распределения возможностей нормальна, возможность (четкого

или нечеткого) события всегда больше или равна его необходимости и для каждой строки х отношения получаем

где через обозначается функция принадлежности. Формула (6.8) выражает условие вложенности нечетких множеств

Составные условия. Оценка некоторого составного условия сводится к оценке простых условий благодаря следующим результатам

где (соответственно ) означает дополнение к (соответственно к причем определяется дополнением степени принадлежности , а объединение и пересечение нечетких множеств определяются соответственно операторами Формула (6.9) непосредственно получается из условия Формулы (6.10) и (6 11) применимы лишь тогда, когда атрибуты, входящие в условия являются невзаимодействующими (два атрибута называются невзаимодействующими, если для каждой значение одного из них не зависит от значения другого (см. разд. 1.8).

Простые условия, включающие единственный атрибут и константу. Сначала рассмотрим простые условия вида где А — атрибут, в — отношение сравнения, представленное с помощью своей функции принадлежности, а — константа, представленная с помощью своей функции принадлежности Примерами таких условий являются «Возраст значительно больше тридцати лет” или «Возраст, приравниваемый к молодому”, соответствующее запросу «найти всех молодых людей”

Возможность того, что значение атрибута А для объекта х принадлежит множеству элементов, которые находятся в отношении в хотя бы с одним элементом а, задается в виде

причем

где - область значений атрибута - функция принадлежности (четкого или нечеткого) отношения, определенного на декартовом произведении функция распределения возможностей, ограничивающая возможные значения атрибута А для объекта х при дополнительном условии, что - дополнительный элемент, введенный в разд. 1.1).

Необходимость этого же события задается в виде

В формулах (6.12), (соответственно определяет степень принадлежности объекта х к множеству наборов, которые возможно (соответственно с необходимостью) удовлетворяют условию

Формула (6 13) показывает, что есть нечеткое множество элементов области которые находятся в отношении 0 хотя бы с одним элементом а. Формула (6.13) расширяет на случай нечетких множеств следующее выражение, справедливое дня обычных множеств:

где - множество элементов области находящихся в отношении в с Отметим, что если отношение рефлексивно то . Формулы (6.12) и (6.14) непосредственно следуют из выражений (6 5) и (6 6). Если а можно представить в виде объединения двух нечетких отношений , где объединение определяется оператором , то имеем

Аналотичной формулы для пересечения не существует. Можно убедиться, что

С друг ой стороны, имеем лишь

Таким образом, при проведении вычислений по формуле (6.14) а нельзя представить в виде объединения двух подмножеств. К тому же бывают ситуации, когда дизъюнкция двух расплывчатых предикатов нельзя удовлетворительным образом представить объединением нечетких множеств, а более адекватное представление дает выпуклая оболочка объединений Выпуклая оболочка а нечеткого множества, определяемая на внолне упорядоченном универсальном множестве задается выражением

Отметим, что , выпуклая оболочка объединения двух нечетких множеств и с представлена на рис. 6.1. Так, выпуклая оболочка нечеткого множества, выражающего характеристику «средней или большой”, включает все элементы, расположенные между

Рис. 6.1

«средним” и «большим” со степенью принадлежности, равной 1.

Замечание Когда когда имеется ненулевая возможность того, что атрибут А не применим к объекту х, формулы (6 15) и (6.16) заменяются формулами

где символ означает, что формуле (6 12) используется сужение функции на множество а не , определенное на множестве как в формуле (6 23) С целью обоснования формулы (6 23) заметим, что необходимость в том, чтобы объект х удовлетворял условию соответствует невозможности события ”А не применим к или значение не удовлетворяет условию Мера возможности, появляющаяся в формуле (6 23), вычисляется заменой а о в на и на и в формуле (6 12).

Наконец, рассмотрим случай, когда в - равенство, и формулы (6.12) и (6 14) выражают соответственно возможность и необходимость тою, что значение принадлежит а. Вообще говоря, следует заметить, что если а — одноточечное множесгво то условие находится в отношении имеет смысл находится в отношении в с тогда как в противном случае условие находится в отношении в означает в рамках нашего подхода, что находится в отношении в с

Простые условия, включающие два атрибута. Теперь мы рассмотрим простые условия вида где А и В — различные атрибуты с одной и той же областью значений, а в — четкое или нечеткое отношение сравнения, выраженное с помощью своей функции принадлежности . В дальнейшем мы будем предполагать, что атрибуты всегда применимы. Такие условия содержат в следующих примерах «Найти всех студентов, у котррых уровень подготовки по математике примерно равен уровню подготовки по физике” или «Найти всех студентов, у которых уровень подготовки по математике выше, уровень подготовки по физике”.

Возможность того, что значение атрибута А для объекта х будет отношении в со значением атрибута В для того же объекта х, задается выражением

где функция распределения возможностей, ограничивающая возможные значения пары для Когда атрибуты А и В являются невзаимодействующими, функцию распределения в можно разложить следующим образом

(см разд. 1.8) Тогда выражение (6 24) принимает вид

Необходимость того, что значение атрибута А для объекта х будет в отношении в со значением атрибута В для объекта х, задается выражением

которое в случае невзаимодействующих атрибутов принимает вид

Отметим, что формулы (6.24) и (6.27) непосредственно выводятся из соотношений (6.5) и 6.6).

Величина (соответственно определяет степень принадлежности объекта х к множеству таких наборов, которые возможно (соответственно с необходимостью) удовлетворяют условию

В случае симметричных отношений сравнения (равенство, приближенное равенство) можно убедиться, что выражения (6.26) и (6.28) симметричны по А и В. Точнее, в случае равенства формула (6.28) оценивает необходимость того, чтобы значения атрибутов А и В для объекта х были равны, однако не оценивает, насколько равны функции распределения возможностей самом деле, величина в формуле (6.28) принимает ненулевое значение тогда, и только тогда, когда такое, что и За где значение необходимости, полученное по формуле (6.28), равно 1 тогда, и только тогда, когда значения атрибутов точно известны и равны.

Замечания. Отметим, что вопрос «Найти людей, возраст которых примерно равен возрасту Поля” - рассматривается в рамках подхода, используемого для условий вида хотя связанное с ним условие может быть типа где а - информация о возрасте Поля Фактически мы должны сравнить возраст х и возраст Поля, а не оценивать, насколько возраст х принадлежит нечеткому множеству значений, примерно равных возможному возрасту Поля. В более общем случае можно убедиться, что

но

где выражение (6.31) является строгим неравенством, за исключением нескольких особых случаев; в частности, равенство выполняется тогда, когда а - одноточечное множество.

Толерантность. Содержание этого параграфа охватывает две проблемы: вначале рассматриваются последствия возможной неточности задания функций принадлежности, определяющих распределения возможностей, затем изучаются способы учета изменений в ограничении С и их влияние на результат -отбора .

Как отмечалось в [32], если максимальная амплитуда возможной абсолютной ошибки в каждой точке области определения функции распределения возможностей, то эта возможная ошибка не может изменить значения мер возможности и необходимости, вычисляемые по этим функциям распределения, больше чем на е. Наоборот, в теории вероятностей ошибки при задании функции распределения могут привести к более серьезным нарушениям.

Условие С при -отборе включает одно или несколько отношений сравнения, в зависимости от того, является ли оно простым или составным. Это условие можно сделать более или менее ограничительным, изменяя отношения сравнения. Отношение сравнения 0 можно смягчить (например, заменяя строгое равенство на приближенное равенство) за счет его композиции с некоторым четким или нечетким отношением толерантности Т:

где — функция принадлежности отношения толерантности, которая должна быть рефлексивной и симметричном (т. е. ). Отметим, что при наличии условия введение отношения толерантности Т приводит также к расширению множества элементов, находящихся в отношении 0 хотя бы с одним элементом а, поскольку имеем

где о означает - композицию. Практически вычисление -композиции по формуле (6.33) сводится к сложению нечетких чисел (см. замечание в конце разд. 2.3.2)