Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике 3.1.2. ОПЕРАЦИИ НАД НЕЧЕТКИМИ МНОЖЕСТВАМИВ данном разделе аксиоматически вводятся расширения обычных теоретико-множественных операций на случай нечетких множеств Эти расширения не единственны, даже когда операции можно классифицировать по сохраняемым ими свойствам Более того, имеются такие операции над нечеткими множествами, которым нельзя поставить в соответствие никакую операцию над обычными множествами, хотя некоторые из них (например, нахождение средних значений) нам уже известны Дополнение. Поточечный оператор дополнения есть функция с
Чтобы сохранялись интуитивные представления о дополнении, на операцию с накладываются следующие ограничения
Если к тому же с - непрерывная функция, то существует единственное пороговое значение
где Объединение и пересечение. Операции объединения и пересечения нечетких множеств можно определить поточечно с помощью отображений из
Будем стремиться по возможности сохранить свойства обычных операций объединения и пересечения множеств, т. Совпадение с операциями пересечения и объединения обычных множеств:
Коммутативность
Ассоциативность
Выполнение законов де Моргана: существует дополнение с, удовлетворяющее условиям
Существование нейтрального элемента.
Монотонность: Непрерывность Условия Аксиомы Идемпотентные операции.
Строго монотонные архимедовы операции Это операции, которые удовлетворяют условиям Их типичным примером служат операция произведения и вероятностная сумма
где
где Эти классы операций называются строгими пересечениями и объединениями по названиям соответствующих треугольных норм и конорм. Все они недистрибутивны и неидемпотентны, а также никогда не удовлетворяют законам исключенного третьего и непротиворечивости. Параметризованные семейства строгих операций пересечения и объединения были предложены в ряде работ. В работе [15] изучалось одно семейство операций строгого пересечения, которые являются рациональными функциями своих аргументов:
Соответствующее семейство объединений получается по принципу двойственности на основе дополнения
При Нильпотентные операции. Типичные представители — операции. пересечения объединения и Эти операции удовлетворяют законам де Моргана для дополнения
где
где функция
Нильпотентные операции удовлетворяют следующим свойствам, отсутствие взаимной дистрибутивности и идемпотентности; всякая операция дополнения с порождает операции пересечения и объединения, которые двойственны в смысле правил де Моргана и удовлетворяют законам исключенного третьего и непротиворечивости, причем для указанного дополнения операции и и с порождаются функцией
Можно ввести и такие операторы пересечения и объединения, которые не являются ни идемпотентными, ни архимедовыми, ни нильпотентными. К числу подобных операторов относится семейство операторов пересечения [7]
При Операторы, характерные для теории нечетких множеств. В классической теории множеств имеются только два способа комбинировать множества симметричным образом, так, чтобы выполнялась аксиома Операция должна быть либо пересечением, либо объединением. В рамках теории нечетких множеств это не так. Мы видели, что операции пересечения нечетких множеств не больше операции взятия минимума, а операции их объединения — не меньше операции взятия максимума Следовательно, рассмотренные классы операторов охватывают лишь некоторую часть возможных операторов свертки В настоящем разделе исследуются операции нахождения среднего (расположенные между операциями Операции осреднения Среднее для двух нечетких множеств определяется с помощью отображения
Легко показать, что выполняются следующие замечательные свойства: функция если единственными ассоциативными средними являются медианы, определяемые для некоторого порога
Таким образом, ассоциативность — это свойство, несовместимое с понятием среднего. Оно заменяется свойством бисимметричности, которое записывается в виде
Отметим, что выполнение свойства ассоциативности влечет выполнение свойства бисимметричности. В предположении о непрерывности и строгом возрастании функции
где
причем если Симметрические суммы. Силверт [24] предложил исследовать один класс операторов свертки нечетких множеств, очень интересный в семантическом плане взаимодейственные в смысле де Моргана операторы, т. е. функции вида а
Аксиому Любая симметрическая в смысле аксиомы
где Можно показать (см работу [24]), что:
Таким образом, при использовании операторов вида симметрических сумм необходимо выбирать между свойствами ассоциативности и идемпотентности. Используя классические результаты из теории функциональных уравнении, Домби [5] и Дюбуа [6] показали, что ассоциативные, строго возрастающие симметрические суммы выражаются в виде
где Наконец, свойство ассоциативности должно быть ограничено областью Примером ассоциативной симметрической суммы, порожденной генератором
А операция
не ассоциативна, потому что Рассмотрим теперь идемпотентные симметрические суммы. Будучи неубывающими, они представляют собой операторы осреднения в смысле условий на и строго возрастает — это среднее арифметическое, которое также порождается функцией Например, в качестве генератора
Обе это операции представляют собой средние, но не являются бисимметричными. При
а при На рис 3.2 — 3.13 изображены некоторые из операций над нечеткими множествами, введенные в этом разделе
Рис. 3.2
Рис. 3.3
Рис. 3.4
Рис. 3.5 (кликните для просмотра скана)
Рис. 3.12
Рис. 3.13
|
1 |
Оглавление
|