3.1.2. ОПЕРАЦИИ НАД НЕЧЕТКИМИ МНОЖЕСТВАМИ

В данном разделе аксиоматически вводятся расширения обычных теоретико-множественных операций на случай нечетких множеств Эти расширения не единственны, даже когда операции можно классифицировать по сохраняемым ими свойствам Более того, имеются такие операции над нечеткими множествами, которым нельзя поставить в соответствие никакую операцию над обычными множествами, хотя некоторые из них (например, нахождение средних значений) нам уже известны

Дополнение. Поточечный оператор дополнения есть функция с , такая, что дополнение нечеткого множества обозначаемое определяется в виде

Чтобы сохранялись интуитивные представления о дополнении, на операцию с накладываются следующие ограничения

(совпадение с классическим случаем)

с строго убывающая функция (если при переходе от элемента со к элементу со увеличивается степень принадлежности к нечеткому множеству то соогветственио уменьшается степень принадлежности к его ожиданию - инволюция (двойное отрицание жвиваленшо утверждению)

Если к тому же с - непрерывная функция, то существует единственное пороговое значение такое, что которое зависит от с и фиксирует в некотором роде порог принадлежности нечеткому множеству при известном с Трильяс [27] получил решение функциональных уравнений, описывающих дополнение с в виде

где — действительная, непрерывная, строго возрастающая функция, такая, что легко видеть, что Функция единственна, когда с — фиксированная операция. Для получаем классическую операцию дополнения нечеткого множества уже введенную в разд. 1.5.

Объединение и пересечение. Операции объединения и пересечения нечетких множеств можно определить поточечно с помощью отображений из в [0, 1], обозначаемых и и соответственно, таких, что

Будем стремиться по возможности сохранить свойства обычных операций объединения и пересечения множеств, т. оставаться в рамках алгебраической структуры, как можно более близкой к структуре булевой решетки В разд. 1.5 говорилось, что булеву решетку невозможно сохранить на множестве всех нечетких подмножеств универсального множества На практике мы имеем выбор из следующих двух вариантов - либо определить операции и и так, чтобы сохранить законы исключенного третьего и непротиворечивости (тогда не выполняются свойства идемпотентности и, следовательно, взаимной дистрибутивности для операций пересечения П и объединения и), либо сохранить свойство идемпотентности и отбросить законы исключенного третьего и непротиворечивости. Таким образом, приходим к следующим аксиомам для определения операций пересечения и объединения нечетких множеств

Совпадение с операциями пересечения и объединения обычных множеств:

Коммутативность

Ассоциативность

Выполнение законов де Моргана: существует дополнение с, удовлетворяющее условиям такое, что

Существование нейтрального элемента.

Монотонность: — неубывающие функции по каждому аргументу.

Непрерывность — непрерывные функции.

Условия и выполняются для операций в классической теории множеств, а требования монотонности и являются естественными, так как если элемент со принадлежит нечетким множествам и в меньшей степени, чем элемент то не может принадлежать их объединению или пересечению в большей степени, чем Требование непрерывности представляет собой условие технического характера, когда универсальное множество П бесконечно.

Аксиомы позволяют определить пару как полугруппу с нейтральным элементом 1. В стохастической геометрии операции пересечения 1 носят название треугольных норм ввиду их роли в выражении неравенств треугольника [19, 25]. Преобразование де Моргана, выражаемое аксиомами позволяет заменять операции и и между собой Тогда пара образует полугруппу с нейтральным элементом 0. Благодаря результатам, полученным в теории функциональных уравнении [1, 18], основные классы операторов пересечения и объединения могут характеризоваться следующим образом.

Идемпотентные операции. Эти операции взаимно дистрибутивны. Операции — единственные операторы объединения и пересечения, удовлетворяющие условиям 10 — 15 и которые идемпотентны и взаимно дистрибутивны. Кроме того, операция взятия минимума — самая большая операция пересечения в том смысле, что Двойственная ей операция взятия максимума будет самой малой из операций объединения

Строго монотонные архимедовы операции Это операции, которые удовлетворяют условиям

Их типичным примером служат операция произведения для пересечения

и вероятностная сумма для объединения нечетких множеств. Эти две операции удовлетворяют законам де Моргана для Они записываются в общем виде как

где — биективное отображение из [0,1] в представляющее собой непрерывную убывающую функцию, такую, что и как

где — биективное отображение из [0, 1] в представляющее собой непрерывную возрастающую функцию, такую, что

Эти классы операций называются строгими пересечениями и объединениями по названиям соответствующих треугольных норм и конорм. Все они недистрибутивны и неидемпотентны, а также никогда не удовлетворяют законам исключенного третьего и непротиворечивости.

Параметризованные семейства строгих операций пересечения и объединения были предложены в ряде работ. В работе [15] изучалось одно семейство операций строгого пересечения, которые являются рациональными функциями своих аргументов:

Соответствующее семейство объединений получается по принципу двойственности на основе дополнения При из формулы для получаем произведение. В работе [12] исследовались лишь операции, которые удовлетворяют условию и определяются выражением

При получаем а при имеем операцию произведения. Наконец, , причем эта операция не является строгой.

Нильпотентные операции. Типичные представители — операции.

пересечения и

объединения и (ограниченная сумма).

Эти операции удовлетворяют законам де Моргана для дополнения . В обобщенном виде они характеризуются выражением

где — убывающая функция из [0, 1] в такая, что

где функция — генератор дополнения, а функция

Нильпотентные операции удовлетворяют следующим свойствам, отсутствие взаимной дистрибутивности и идемпотентности; всякая операция дополнения с порождает операции пересечения и объединения, которые двойственны в смысле правил де Моргана и удовлетворяют законам исключенного третьего и непротиворечивости, причем для указанного дополнения операции и и с порождаются функцией а операция пересечения порождается функцией Параметризованные свойства нильпотентных операций были предложены в ряде работ - класс операций пересечения Швейцера и Скляра в [23], а также Ягера [33], порожденные соответственно функциями при при Для

Можно ввести и такие операторы пересечения и объединения, которые не являются ни идемпотентными, ни архимедовыми, ни нильпотентными. К числу подобных операторов относится семейство операторов пересечения [7]

При

Операторы, характерные для теории нечетких множеств. В классической теории множеств имеются только два способа комбинировать множества симметричным образом, так, чтобы выполнялась аксиома

Операция должна быть либо пересечением, либо объединением. В рамках теории нечетких множеств это не так. Мы видели, что операции пересечения нечетких множеств не больше операции взятия минимума, а операции их объединения — не меньше операции взятия максимума Следовательно, рассмотренные классы операторов охватывают лишь некоторую часть возможных операторов свертки В настоящем разделе исследуются операции нахождения среднего (расположенные между операциями а также взаимодвойственные операции в смысле де Моргана. Эти два типа операций над нечеткими множествами не имеют аналогов в классической теории множеств, но тем не менее хорошо известны Вся оригинальность подхода заключается здесь в том, чтобы поместить их в контекст теории множеств

Операции осреднения Среднее для двух нечетких множеств определяется с помощью отображения из [ такого, что

- неубывающая функция каждого из аргументов.

Легко показать, что выполняются следующие замечательные свойства:

функция идемпотентна (обратно: из свойства идемпотентности и условия следует справедливость условия

если — строго возрастающая функция, то она не может быть ассоциативном [7];

единственными ассоциативными средними являются медианы, определяемые для некоторого порога т. е.

Таким образом, ассоциативность — это свойство, несовместимое с понятием среднего. Оно заменяется свойством бисимметричности, которое записывается в виде

Отметим, что выполнение свойства ассоциативности влечет выполнение свойства бисимметричности. В предположении о непрерывности и строгом возрастании функции функциональные уравнения уже были решены в работе [1] Общее решение имеет вид

где — непрерывная и строго монотонная функция. Например, функция , дает семейство операторов частными случаями которых являются следующие операторы

причем если то Заметим, что медиана бисимметрична, хотя ее нельзя представить в виде (3.9)

Симметрические суммы. Силверт [24] предложил исследовать один класс операторов свертки нечетких множеств, очень интересный в семантическом плане взаимодейственные в смысле де Моргана операторы, т. е. функции вида а которые удовлетворяют следующим свойствам

Аксиому можно обобщить для какой угодно операции дополнения

Любая симметрическая в смысле аксиомы сумма, удовлетворяющая аксиомам может быть представлена в виде [24]

где — произвольная неубывающая, неотрицательная и непрерывная функция, такая, что

Можно показать (см работу [24]), что:

Таким образом, при использовании операторов вида симметрических сумм необходимо выбирать между свойствами ассоциативности и идемпотентности.

Используя классические результаты из теории функциональных уравнении, Домби [5] и Дюбуа [6] показали, что ассоциативные, строго возрастающие симметрические суммы выражаются в виде

где — строго монотонная функция, такая, что причем значения (0) и (1) не ограничены. Тогда пара образует полугруппу с нейтральным элементом 1/2, причем 0 и 1 — поглощающие элементы. Более того, при этом имеем для

Наконец, свойство ассоциативности должно быть ограничено областью , поскольку для ассоциативных симметрических сумм значение не определено.

Примером ассоциативной симметрической суммы, порожденной генератором является операция

А операция которая порождается генератором — и имеет вид

не ассоциативна, потому что , т. е. здесь 0 не будет поглощающим элементом.

Рассмотрим теперь идемпотентные симметрические суммы. Будучи неубывающими, они представляют собой операторы осреднения в смысле условий Если сюда добавигь свойство бисимметричности и условие строгого возрастания функции а, то можно проверить, что имеется только одна идемпотентная симметрическая сумма, которая одновременно бисимметричны

на и строго возрастает — это среднее арифметическое, которое также порождается функцией

Например, в качестве генератора можно выбрать некоторую операцию пересечения или объединения. Когда или соответственно получаем

Обе это операции представляют собой средние, но не являются бисимметричными. При имеем следующие неравенства:

а при знаки этих неравенств меняются на противоположные.

На рис 3.2 — 3.13 изображены некоторые из операций над нечеткими множествами, введенные в этом разделе

Рис. 3.2

Рис. 3.3

Рис. 3.4

Рис. 3.5

(кликните для просмотра скана)

Рис. 3.12

Рис. 3.13