ГЛАВА 3. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ НЕЧЕТКИХ МНОЖЕСТВ ДЛЯ ОЦЕНИВАНИЯ И КЛАССИФИКАЦИИ ОБЪЕКТОВ

В своей ставшей уже классической статье [4] Беллман и Заде предложили теорию нечетких множеств в качестве концептуальной основы для решения задач многокритериального выбора. Основной вклад этой статьи в решение задач выбора состоит в демонстрации возможности представления целей и ограничений посредством нечетких множеств, которые объединяют элементы субъективных предпочтений. При этом задача свертывания критериев может рассматриваться как задача комбинирования нечетких множеств с помощью теоретико-множественных операций над ними Ряд работ посвящен аксиоматическому или эмпирическому определению таких операций агрегирования; среди них можно отметить статьи Фанга и Фю [14]. Ягера [31, 33, 34], Циммермана и Цисно [35 - 37], Дюбуа и Прада [7, 11] Данный вопрос является основным предметом первого раздела этой главы, в котором отражено содержание нашей работы [38] Также обсуждается случай построения неточных частных оценок по критериям в виде нечетких величин типа рассмотренных в гл 2 Эта неточность отражается и в обобщенной оценке объектов Второй раздел настоящей главы посвящен вопросам классификации неточно оцениваемых объектов.

3.1. КОЛИЧЕСТВЕННЫЙ ПОДХОД К ЗАДАЧЕ МНОГОКРИТЕРИАЛЬНОГО ВЫБОРА

Пусть П — множество объектов, которые требуется классифицировать с учетом множества критериев С Число объектов предполагается конечным и достаточно малым, так что их можно перечислить непосредственно Частные оценки объектов по каждому критерию принимают свои значения в легко идентифицируемых множествах Отдельная целевая функция будет рассматриваться как некоторое нечеткое множество, ограничивающее допустимые значения соответствующего критерия. Следовательно, неявно предполагается, что каждая целевая функция определяет отношение полного порядка на множестве П. В частности, здесь не рассматривается случай, когда по каждому критерию задано лишь некоторое отношение нечеткого предпочтения на множестве объектов; этот вопрос затрагивается в рамках теории нечетких множеств в работах [21, 22, 25]. Наконец, еще одно принимаемое здесь предположение касается независимости выбора от состояния среды Проблема выбора в условиях неопределенности и неточности обсуждается, например, в работах [8, 13,20].

В настоящем разделе предлагается обзор возможных операции свертки целевых функций, а также способы определения в конкретной ситуации, какая из операций свертки целевых функций наилучшим образом соответствует характеру реальной обобщенной оценки лицом, принимающим решение (ЛПР), своих потенциальных действий

3 1.1. ОСНОВА ПОДХОДА

Пусть — область, в которой оцениваются объекты по критерию . Оценки объектов по каждому критерию могут быть представлены посредством отображений из множества в множество

Целевая функция, связываемая с критерием будет описываться нечетким множеством определенным на причем для , величина есть степень совместимости между значением оценки х, характеризующей некоторый объект, и желанием ЛПР. В ряде случаев его желание может быть описано в лингвистической форме и представлено с помощью функции принадлежности Ядро нечеткого множества соответствует оценкам, полностью совместимым с целью. В свою очередь, оценки, расположенные вне носителя нечеткого множества оказываются полностью несовместимыми с целью. При этом оценки, попадающие в ядро нечеткого множества, совершенно неразличимы между собой, как впрочем и те оценки, которые находятся за пределами носителя. Например, если — множество автомобилей, шкала цен, то, когда ЛПР предпочитает выбрать «средний по цене” автомобиль, график целевой функции «средняя цена” можно представить в виде, изображенном на рис. 3.1.

Оценка не может быть точной. Тем не менее форма кривой позволяет выразить индивидуальные особенности предпочтений ЛПР. Чтобы выявить эти индивидуальные особенности, не следует требовать от него выражения своих предпочтений в интервале [0, 1] (выбор которого весьма произволен). Удобнее построить дискретную шкалу предпочтений, содержащую уровней в зависимости от порога восприятия ЛПР. Самый простой способ состоит в лингвистическом выражении уровней совместимости между оценкой и целью и отображении этих уровней на [0, 1], как в табл. 3.1 (см. также рис. 3.1).

Таблица 3.1

Лингвистические оценки из третьего столбца табл. 3.1 используются в разд. 3.1.5.

Известны три метода для определения величины (см обсуждение вопроса построения функций принадлежности в разд. 1.6.1):

Рис. 3.1

дискретизация множества X, построение конечного множества X и оценка ЛПР каждого исхода по шкале а затем сглаживание полученного результата;

представление нечеткой цели С в виде нечеткого числа -типа (см гл. 2) : ЛПР непосредственно задает параметры и форму нечеткого числа, фиксируя границы ядра и носителя цели а также выбирая одну из стандартных функций и

использование графического дисплея со световым пером, что позволяет ЛПР начертить кривую наглядно представив свою цель.

Зная целевую функцию и критерий можно судить о совместимости каждого объекта с целью с помощью функции принадлежности определяемой в виде

Очевидно, что понятие полезности как численного представления предпочтений очень близко к понятию нечеткого множества, описываемого формулой (3.1), а функция принадлежности нечеткого множества играет в этом случае роль (нормированной) функции полезности Однако функция полезности всегда предполагает денежное выражение, а функция принадлежности ввиду ее абстрактного характера в этом смысле нейтральна Более того, важный исходный момент заключается в том, что в теории полезности при определении аксиом, характеризующих функцию полезности, широко используются результаты теории вероятностей (см. книгу Фон Неймана и Моргенштерна [29]). Зато определение функции принадлежности основывается отнюдь не на существовании вероятностей, а, скорее, на наличии отношения предпочтения между элементами базового множества (см. разд. 1 6.1).

Предположим, что общая цель выражается в виде иерархии подцелей, на нижнем уровне которой находятся частных целей, связываемых с элементарными критериями которые позволяют оценивать объекты из множества Эта цель в ряде случаев может выражаться в виде сложной лингвистической категории, базовым множеством для которой будет декартово произведение Тогда нечеткое множество объектов, совместимых с общей целью, можно получить путем свертывания нечетких множеств с функциями принадлежности определяемыми формулой (3 1). Таким образом, предполагается существование отображения из такого, что

Следовательно, для оценки объектов необходим поиск некоторой операции над нечеткими множествами, объединяющей частные цели. Естественно потребовать, чтобы такая операция удовлетворяла следующим аксиомам: А1. Граничные условия: ;

А2 Для любых пар если то

Условие означает, что действие, полностью совместимое (несовместимое) с каждой из альтернатив, будет в целом приемлемым (совершенно неприемлемым) решением. Условие показывает, что операция не должна противоречить определению частичною порядка для векторов на множестве Если является множеством наилучших объектов, индуцируемых сверткой и если М — множество максимальных элементов отношения частичного порядка на множестве П, то Когда функция является строго возрастающей по каждому аргументу, то .

В дальнейшем мы обратим особое внимание на симметрические операции свертки, т. е. удовлетворяющие условию А3. - симметрическая функция своих аргументов.

Заметим, что симметричность функции еще не означает, что полученная свертка будет симметрической функцией В самом деле, свертываются нечеткие множества и можно легко ввести некоторую форму асимметрии между критериями с помощью изменения вида функций принадлежности Аксиома справедлива, когда все цели имеют одинаковую важность и, следовательно, взаимозаменяемы в процессе свертывания Утверждение, что все цели равноважны, не означает, что все критерии (т. имеют один и тот же вид, и это выражается с помощью нечетких множеств Наконец, предполагается, что А4 - непрерывная функция

В работе [4] Беллман и Заде используют в качесте главным образом операцию взятия минимума, что соответствует пересечению целей На практике экспериментальные исследования [26] показали, что эта операция не всегда правильно отражает поведение ЛПР, даже когда лингвистические категории свертываются им конъюнктивным образом Это приводит к необходимости поиска друшх способов свертывания нечетких множеств