ГЛАВА 2. ИСЧИСЛЕНИЕ НЕЧЕТКИХ ВЕЛИЧИН

В этой главе обсуждаются методы исчисления выражений с неточными величинами, представленным в виде распределений возможности на множестве действительных чисел. Эти методы находятся в полном соответствии с методами расчета неопределенностей или теорией ошибок и представляют собой их расширение на случай взвешенных интервалов. Их значение показано на ряде примеров в конце этой главы. Кроме того, нечеткие величины будут рассматриваться в гл. 3, 5 и 6. В сущности, в исчислении нечетких величин предлагается один из вариантов развития теории чувствительности, которая может приобретать оттенки без заметного увеличения объема необходимых вычислений. Когда затруднительно применение теории случайных функций [21], на смену ей также приходит исчисление нечетких величин, хотя, конечно, ценой некоторой потери информации — большей или меньшей в зависимости от характера решаемых проблем. Теоретическая часть материала данной главы более детально изложена в работе [27].

2.1. ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ОСНОВНОЙ ПРИНЦИП

2.1.1 НЕЧЕТКИЕ ВЕЛИЧИНЫ, НЕЧЕТКИЕ ИНТЕРВАЛЫ И НЕЧЕТКИЕ ЧИСЛА

Нечеткая величина — это нечеткое множество, определенное на множестве действительных чисел, т. е. отображение из в [0, 1]. Здесь функция принадлежности будет естественным образом рассматриваться как функция распределения возможностей на значениях, принимаемых некоторой переменной. В соответствии с результатами, обсуждавшимися в разд. 1 4 и относящимися к нормировке нечетких множеств и к «возможностной” природе нечеткой величины будем в общем случае предполагать, что функция нормирована. 0

Всякое действительное число принадлежащее ядру называется модальным значением

Можно определить такой тип нечеткой величины, который обобщает понятие интервала нечеткий интервал — это выпуклая нечеткая величина, функция принадлежности которой квазивогнута [23]:

Нечеткая величина является выпуклой тогда, и только тогда, когда ее -срезы выпуклы, т. е. являются (ограниченными или неограниченными) интервалами. Понятие замкнутых интервалов обобщается в виде понятия нечетких интервалов, у которых функция принадлежности полунепрерывна сверху, т. е. по определению их -срезы являются замкнутыми интервалами Понятие компактных подмножеств множества действительных чисел (замкнутых и ограниченных) обобщается с помощью понятия нечетких величин с полунепрерывными сверху функциями принадлежности, определенными на компактном носителе. Будем называть нечетким числом полунепрерывный сверху нечеткий интервал с компактным носителем и единственным

модальным значением. Если М — нечеткое число с модальным значением то М является возможным представлением понятия «около [6]. В случае же нечеткого интервала множество модальных значений само есть некоторый интервал. Нечеткая величина будет называться полимодальной, если существует конечное множество выпуклых нечетких подмножеств с полунепрерывными сверху функциями принадлежности, таких, что есть объединение М. в смысле формулы (1.47).

Нечеткий интервал — это удобная форма представления неточных величин, более богатая информацией, чем обычный, точный интервал. Действительно, часто встречаются ситуации, когда требуется оценить точность некоторого параметра или обеспечить прогноз значения некоторого признака, а обычный интервал оказывается неудовлетворительным представлением. Следует ли в таком случае фиксировать границы этого интервала: давать пессимистические оценки (тогда интервал окажется широким, а проводимые расчеты будут иметь ничтожную ценность из-за их неточности) или оптимистические (тогда будет существовать риск выхода таким образом определенной величины за пределы назначенной области, что подвергает сомнению получаемые «точные” результаты Нечеткий интервал позволяет иметь одновременно пессимистическое и оптимистическое представление: носитель нечеткого интервала будет выбираться так, чтобы гарантировать «невыход” рассматриваемой величины за нужные пределы, а его ядро будет содержать наиболее правдоподобные значения.

Способы определения функций принадлежности на основе неточных оценок, обусловленных субъективным восприятием человека, или на базе статистических данных, которые обсуждались в разд. 1.6, особым образом применяются для задания нечетких величин.

В рамках вероятностной интерпретации функций принадлежности (см. разд. 1.3.2) можно строго определить среднее значение нечеткого интервала, которое также будет некоторым интервалом (доказательство это утверждения см. в [11, 26]).

Пусть П - мера возможности, связанная с распределением где - нечеткий интервал с функцией принадлежности, полунепрерывный сверху, и компактным носителем. Отметим, что в этом случае мера возможности (как, впрочем, и связанная с ней мера необходимости) удовлетворяет условию непрерывности мер неопределенности (1 3) для монотонно возрастающих или убывающих последовательностей компактных множеств. Рассмотрим множество всех вероятностных мер, совместимых с мерой возможности П, т. е. в соответствии с формулой (1.30):

Пусть — ядро нечеткого интервала

Верхняя граница множества Р достигается вероятностной мерой Р с функцией распределения такой, что

т. е.

Рис. 2.1

Точно так же нижняя граница множества Р достигается вероятностной мерой Р с функцией распределения такой, что

т. е.

Используя определения верхних и нижних математических ожиданий - формулы (1.31) и (1.32), можно получить соответственно нижнее и верхнее средние значения нечеткой величины

Тогда среднее значение нечеткого интервала будет являться множеством всех средних значений случайных величин, совместимых с (удовлетворяющих условию (1.30)), т. е. интервалом Кажется вполне естественным, что среднее значение нечеткого интервала - обычный интервал. Если то легко убедиться, что