1.4. НЕЧЕТКИЕ МНОЖЕСТВА

Понятие нечеткого множества можно определить без ссылки на какую-либо меру неопределенности, видоизменяя традиционную характеристическую функцию множества, а именно вводя градации в обычное отношение принадлежности. Это — точка зрения логики. При всем том задание меры

неопределенности сводится к стремлению локализовать значение переменной х, выражая дня каждого подмножества А универсального множества X имеющуюся информацию об отношении Семейство подмножеств, подходящих для представления переменной х, будет индуцировать обобщенную характеристическую функцию нечеткого множества, причем эти два представления строго эквивалентны в случае мер возможности.

Согласно первой точке зрения определение нечеткого множества эквивалентно заданию универсального множества О и отображения из 12 в единичный интервал, т. е. [0, 1] (Заде [31]). Значение для понимается как степень принадлежности элемента со нечеткому множеству Это — прямое определение, которое позволяет строить простые модели расплывчатых категорий естественного языка (например, понятие «высокий”), определенных на объективном носителе, например в числовой шкале ( — множество чисел, характеризующих рост человека), или на множестве объектов, качественно описываемых с помощью таких категорий (П-множество людей). Величина др выражает тогда степень совместимости значения (или объекта) с понятием Если (множество действительных чисел), то есть нечеткая величина.

Вполне естественна постановка задачи нахождения обычных теоретикомножественных представлений для нечеткого множества Когда то — обычное подмножество универсального множества . В этом случае называется «областью определенности” в . В противном случае можно выбрать порог (0, 1] и определить обычное множество

которое называется множеством уровня а или a-срезом нечеткого множества Множество содержит все элементы универсального множества для которых уровень совместимости с не меньше а. Семейство всех а-срезов есть монотонная последовательность, удовлетворяющая условию

Она позволяет следующим образом представить нечеткое множество с помощью обычных множеств (Заде

Обратно, если задано конечное семейство множеств в виде монотонной последовательности удовлетворяющей условию (1.35), то оно «.образует множество a-срезов нечеткого множества, определяемого условием (1.36). В случае бесконечного семейства множеств условия (1.35) недостаточно и необходимо, чтобы для любой возрастающей последовательности элементов из (0, 1] выполнялось требование (Ралеску [26])

С другой стороны, для представления нечеткого множества можно взять его строгие a-срезы (множества строгого уровня а), определяемые в виде

Строгие -срезы удовлетворяют условиям (1 35), (1.36) так же, как и -срезы. Среди обычных множеств, описывающих нечеткое множество в виде последовательности часто упоминаются следующие два множества, множество уровня 1, называемое ядром нечеткого множества и обозначаемое

множество строгого уровня 0, называемое носителем нечеткого множества и обозначаемое

Примечание В ряде случаев для представления множества Г желатечьно вводить не -срезы, а другие последовательности множеств

Вторая точка зрения на нечеткое множество состоит в рассмотрении ею как «следа” меры возможности на одноточечных множествах в . В самом деле, всякому множеству можно поставить в соответствие меру возможности такую, что тогда, и только тогда, когда в противном случае. Когда мера возможности П принимает значения в единичном интервале, функцию распределения возможностей можно интерпретировать как функцию принадлежности нечеткого множества рассматриваемого как достоверное событие, на котором сосредоточена мера П Действительно, обозначая через множество нечетких подмножеств универсума имеем

Обратно, задание нечеткого множества достаточно для описания функции распределения возможностей при условии, что это нечеткое множество нормально,

Но если не накладывать более ограничения то, основываясь на формуле (1 9), получаем

Величина иногда называется высотой нечеткого множества Легко видеть, что если функция распределения возможностей определяется по весам фокальных элементов, то фокальные элементы образуют семейство а-срезов некоторого нечеткого множества Пусть суть фокальные элементы. Тогда

в отличие от условия (1.36) имеем

Это вероятностный способ представления нечеткого множества.

Когда выражение (1 39) применяется к вероятностной мере на конечном универсальном множестве, это приводит к рассмотрению вероятностей как значений принадлежности Если заметить, что плотность распределения вероятностей описывает наши представления о точке с неизвестным расположением, а отнюдь не о множестве (поскольку при функция множества есть мера Дирака, сосредоточенная на одноточечном множестве) то станет понятно, это смешение вероятностей и значений принадлежности не вполне правомерно В то время как распределение возможностей легко интерпретировать как нечеткое множество, распределение вероятностей нельзя рассматривать как «нечеткую Более того, в отличие от случая мер возможности знание не определяет с необходимостью вероятностную меру, поскольку (при бесконечном множестве мы можем иметь

В заключение обсудим вопрос нормировки нечеткого множества. Здесь все зависит от природы универсального множества. Если, например, мы хотим описать множество целых чисел, очень близких к 3,5, то естественно отказаться от нормировки функции принадлежности, поскольку наиболее близкие к 3,5 числа лежат вне множества натуральных чисел Я Зато нечеткая величина, определенная на будет в общем случае нормированной, причем ее универсум обладает полнотой Отказ от нормировки меры возможности может также интерпретироваться как отсутствие полного доверия к данной информации (например, при анализе информации, поступившей от двух противоречивых источников) или как факт наличия неопределенности, когда переменная, связанная с данной мерой возможности, не ни мает никакого значения (если, например, — множество реализаций действия, которое, может быть, останется невыполненным)