2.2.3. ПРИЛОЖЕНИЕ К ОБЫЧНЫМ ОПЕРАЦИЯМ

Общие результаты, изложенные выше, позволяют выявить интересные свойства обычных операций, в частности четырех арифметических операций, а также операций взятия максимума и минимума.

В первую очередь рассмотрим унарные операции.

Функции одной действительной переменной. Если - функция одного аргумента, нечеткая величина, то функция принадлежности образа имеет вид

Тогда на базе нечеткой величины можно определить следующие величины:

Нечеткая величина называется положительной, если и отрицательной, если где буквой обозначен носитель нечеткой величины. Примем обозначения причем строгие неравенства будут использоваться тогда, когда число исключается из носителя нечеткой величины Легко увидеть, что если М — нечеткий интервал, то обратная величина будет нечетким интервалом лишь тогда, когда исходный интервал либо положителен, либо отрицателен. Величины, определенные выше в таблице, представляют собой обобщения известных определений интервального анализа [17].

Расширение четырех основных арифметических операций [6,15]. Прежде всего отметим, что расширение любой коммутативной (ассоциативной) операции коммутативно (ассоциативно).

Расширенная операция сложения двух нечетких величин определяется формулой

Это — вариант задания свертки нечетких величин в -форме. Множество всех нечетких интервалов с полунепрерывными сверху функциями принадлежности вместе с операцией образует полугруппу с нулевым элементом . На множестве действительных чисел операция совпадает с обычным сложением. В общем случае величина — не является обратной к величине для операции расширенного сложения поскольку нечеткое множество, в котором число 0 имеет степень принадлежности 1, но не числом 0. Пара является подполугруппой полугруппы

Верхнее и нижнее средние значения нечеткой величины обозначаемые (см. формулы (2.2) и (2 3)), удовлетворяют замечательному свойству аддитивности, доказанному в работах [11, 26] для нечетких интервалов с функциями принадлежности, полунепрерывными сверху:

Равенства (2.24) контрастируют с тем фактом, что если две нечеткие величины рассматриваемые как множества вероятностных мер в смысле определения (1.30), свертываются с помощью обычной операции линейной комбинации, то свойство аддитивности математических ожиданий ослабляется за счет появления неравенств для верхнего и нижнего математических ожиданий [1]

Расширенная операция вычитания двух нечетких величин определяется в виде

Легко убедиться, что

Расширенная операция умножения двух нечетких величин определяется в виде

Множество положительных нечетких интервалов с функциями принадлежности, полунепрерывными сверху, вместе с расширенной операцией умножения образует полугруппу с единичным элементом 1. На множестве действительных чисел операция совпадает с обычным умножением. Величина не является обратным элементом, обеспечивающим существование группы, поскольку произведение — нечеткое множество,

содержащее 1 со степенью 1, но не число 1. Число 0 — поглощающий элемент для операции Наконец, множно проверить, что

В общем случае не выполняется свойство дистрибутивности расширенной операции умножения по отношению к расширенному сложению Здесь имеем ослабленный вариант дистрибутивности [7]:

Свойство дистрибутивности выполняется по крайней мере в следующих случаях

— действительное число;

- нечеткие интервалы с функциями принадлежности, полунепрерывными сверху, причем интервалы и — либо оба отрицательны, либо оба положительны;

— нечеткие интервалы с функциями принадлежности, полунепрерывными сверху, причем - симметричные нечеткие интервалы

Эти результаты получаются за счет использования формулы (2.13) и являются обобщением классических результатов интервального анализа [17].

Расширенная операция деления двух нечетких величин определяется в виде

Разумеется, здесь имеем Когда величины - одного и того же знака (обе положительны или обе отрицательны) - нечеткие интервалы, частное также является нечетким интервалом.

Расширение операций взятия минимума и максимума [6]. Интересно узнать, имеют ли смысл операции взятия максимума или минимума двух интервалов, расширенные с помощью принципа обобщения.

Функции являются изотонными на декартовом произведении что легко позволяет их расширить, поскольку

откуда очевиден способ построения операций где символами обозначены расширенные по принципу обобщения операции (рис. 2.3), а - нечеткие интервалы с функциями принадлежности, полунепрерывными сверху. Заметим, что результат операции может не

Рис. 2.3

совпадать ни с М, ни с . Операции коммутативны и ассоциативны, причем

Расширенные операции взаимно дистрибутивны на множестве нечетких интервалов и удовлетворяют следующим свойствам: