2.2.3. ПРИЛОЖЕНИЕ К ОБЫЧНЫМ ОПЕРАЦИЯМ
Общие результаты, изложенные выше, позволяют выявить интересные свойства обычных операций, в частности четырех арифметических операций, а также операций взятия максимума и минимума.
В первую очередь рассмотрим унарные операции.
Функции одной действительной переменной. Если
- функция одного аргумента,
нечеткая величина, то функция принадлежности образа
имеет вид
Тогда на базе нечеткой величины
можно определить следующие величины:
Нечеткая величина
называется положительной, если
и отрицательной, если
где буквой
обозначен носитель нечеткой величины. Примем обозначения
причем строгие неравенства
будут использоваться тогда, когда число
исключается из носителя нечеткой величины
Легко увидеть, что если М — нечеткий интервал, то обратная величина
будет нечетким интервалом лишь тогда, когда исходный интервал либо положителен, либо отрицателен. Величины, определенные выше в таблице, представляют собой обобщения известных определений интервального анализа [17].
Расширение четырех основных арифметических операций [6,15]. Прежде всего отметим, что расширение любой коммутативной (ассоциативной) операции коммутативно (ассоциативно).
Расширенная операция сложения
двух нечетких величин определяется формулой
Это — вариант задания свертки нечетких величин в
-форме. Множество
всех нечетких интервалов с полунепрерывными сверху функциями принадлежности вместе с операцией
образует полугруппу с нулевым элементом
. На множестве действительных чисел операция
совпадает с обычным сложением. В общем случае величина —
не является обратной к величине
для операции расширенного сложения
поскольку
нечеткое множество, в котором число 0 имеет степень принадлежности 1, но не числом 0. Пара
является подполугруппой полугруппы
Верхнее и нижнее средние значения нечеткой величины
обозначаемые
(см. формулы (2.2) и (2 3)), удовлетворяют замечательному свойству аддитивности, доказанному в работах [11, 26] для нечетких интервалов с функциями принадлежности, полунепрерывными сверху:
Равенства (2.24) контрастируют с тем фактом, что если две нечеткие величины
рассматриваемые как множества вероятностных мер в смысле определения (1.30), свертываются с помощью обычной операции линейной комбинации, то свойство аддитивности математических ожиданий ослабляется за счет появления неравенств для верхнего и нижнего математических ожиданий [1]
Расширенная операция вычитания
двух нечетких величин определяется в виде
Легко убедиться, что
Расширенная операция умножения
двух нечетких величин определяется в виде
Множество положительных нечетких интервалов
с функциями принадлежности, полунепрерывными сверху, вместе с расширенной операцией умножения
образует полугруппу с единичным элементом 1. На множестве действительных чисел операция
совпадает с обычным умножением. Величина
не является обратным элементом, обеспечивающим существование группы, поскольку произведение
— нечеткое множество,
содержащее 1 со степенью 1, но не число 1. Число 0 — поглощающий элемент для операции
Наконец, множно проверить, что
В общем случае не выполняется свойство дистрибутивности расширенной операции умножения
по отношению к расширенному сложению
Здесь имеем ослабленный вариант дистрибутивности [7]:
Свойство дистрибутивности выполняется по крайней мере в следующих случаях
— действительное число;
- нечеткие интервалы с функциями принадлежности, полунепрерывными сверху, причем интервалы
и
— либо оба отрицательны, либо оба положительны;
— нечеткие интервалы с функциями принадлежности, полунепрерывными сверху, причем
- симметричные нечеткие интервалы
Эти результаты получаются за счет использования формулы (2.13) и являются обобщением классических результатов интервального анализа [17].
Расширенная операция деления
двух нечетких величин определяется в виде
Разумеется, здесь имеем
Когда величины
- одного и того же знака (обе положительны или обе отрицательны)
- нечеткие интервалы, частное
также является нечетким интервалом.
Расширение операций взятия минимума и максимума [6]. Интересно узнать, имеют ли смысл операции взятия максимума или минимума двух интервалов, расширенные с помощью принципа обобщения.
Функции
являются изотонными на декартовом произведении
что легко позволяет их расширить, поскольку
откуда очевиден способ построения операций
где символами
обозначены расширенные по принципу обобщения операции (рис. 2.3), а
- нечеткие интервалы с функциями принадлежности, полунепрерывными сверху. Заметим, что результат операции
может не
Рис. 2.3