3.1.3. ПРИМЕНЕНИЕ К СВЕРТЫВАНИЮ КРИТЕРИЕВ

Случай двух равнозначных целей. Когда цели определены в соответствии с двузначной логикой «все или ничего”, т. е. когда - обычное подмножество множества (выражающее некоторое ограничение), двумя единственно возможными видами свертки оказываются пересечение целей или их объединение (если они взаимозаменяемы) В данном случае исключается любой компромисс между двумя критериями Когда же цели приобретают некоторые градации, связанные со степенью их достижения, стремление к компромиссу становится одной из естественных линий поведения ЛПР Тем не менее обе другие стратегии поведения (одновременное достижение обеих целей или выполнение одной из них) также весьма естественны. Таким образом, можно выделить три основные стратегии ЛПР при свертывании отдельных критериев.

Для стратегии, выражающей стремление к одновременному удовлетворению обеих целей, естественным будет выполнение аксиомы

А5. , т e. обобщенная оценка некоторого ствия не может быть лучше наихудшей из частных оценок. Такие операции будем называть «коньюнкциями” Здесь важным подклассом оказывается множество ассоциативных конъюнкций, которые служат моделями операций пересечения нечетких множеств

Операция, выражающая избыточность двух целей, удовлетворяет аксиоме, двойственной аксиоме А5

А6. , т. e. обобщенная оценка обусловлена наилуч шей из частных оценок. Будем называть такие операции «дизъюнкциями” Их важный подкласс — ассоциативные дизъюнкции, которые служат моделями операций объединения нечетких множеств

Операция, выражающая компромисс между отмеченными выше стратегиями, удовлетворяет следующей аксиоме, дополняющей условия

А7 , т. e. обобщенная оценка находится на некотором уровне, промежуточном между частными оценками. Приходим к использованию операций осреднения

Помимо этих трех «чистых” стратегий можно представить себе и гибридные стратегии, рассматриваемые в следующем примере Пусть — некоторый объект. Если он плохо определен в смысле соответствия двум критериям, то обобщенная оценка окажется относительно мягкой и снисходительной (дизъюнкция). Если же объект со четко определен двумя критериями, то обобщенная оценка будет более строгой и жесткой (конъюнкция). Этот тип свертки хорошо учитывается оператором симметрической суммы, таким как медиана Зато все ассоциативные симметрические суммы (исключая медиану) выражают другой вариант гибридной свертки, а именно

который соответствует стратегии, двойственной стратегии, описанной выше.

Значение функциональных представлений указанных операций состоит в возможности использования параметризованных семейств, типа рассмотренных выше, что облегчает нахождение адекватных операций свертывания критериев. С их помощью можно покрыть все множество стратегий между конъюнктивной и дизъюнктивной стратегиями, выбрав в качестве исходных некоторую операцию пересечения и некоторую операцию объединения и и задавая новое параметризованное семейство операций в виде

где показатель у представляет собой степень компенсации целей. Эта идея была впервые предложена в работе [35]

Несмотря на внешнее богатство и разнообразие перечня операций, изложенных в настоящей главе, надо отдавать себе отчет в том, что они позволили учесть лишь некоторую (хотя и значительную) часть возможных стратегий в ситуации выбора В этом можно убедиться на примере, помещенном в конце этой главы. Для построения действительно полной картины стратегий выбора необходимы дополнительные исследования

Свертывание q критериев с помощью симметричной свертки целевых функций. Операции, упомянутые выше, можно расширить на случай равнозначных целей при условии, что они обладают структурой, которая допускает «естественное” увеличение числа их аргументов и сохраняет аксиому коммутативности Определим операцию с аргументами рекурсивно:

Если — коммутативная и ассоциативная функция, то удовлетворяет аксиоме и представляет собой естественное расширение для случая агрегирования критериев. Этот прием может использоваться при расширении ассоциативных конъюнкций, дизъюнкций и симметрических сумм, а также параметризованных медиан.

При расширении других операций осреднения, не являющихся медианами, полезно свойство бисимметричности. В общем случае имеем

Некоторые симметрические суммы (в частности, неассоциативные) также допускают естественное расширение, которое можно определить благодаря каноническому представлению, описанному в разд. 3.1.2. Если функция ассоциативна, то имеем

где функция определяется подобно функции на основе генератора симметрической суммы с двумя аргументами. Этот прием позволяет генерировать многоместные расширения всех симметрических сумм, описанных в настоящей главе.

Следует отметить, что возможны и другие варианты симметричного агрегирования целей с использованием операций нескольких типов Например, заданию достигнуть двух из трех целей соответствует свертка вида

Неравнозначные по важности критерии. До сих пор понятию важности одного критерия по отношению к другому уделялось очень мало внимания. В зависимости от ЛПР или от ситуаций принятия решений этому понятию придается совершенно различный смысл. Не претендуя на полноту освещения этой чрезвычайно острой проблемы многокритериального выбора, мы попытаемся сопоставить несколько возможных интерпретаций понятия важности.

Использование порогов удовлетворения целей. Первая интерпретация важности критериев может связываться с наличием некоторого минимального порога по каждому критерию достижение этого порога определяет приемлемость оценки объекта . Здесь неявно предполагается, что объект тем предпочтительнее в смысле критерия чем больше величина Очевидно, что такой подход есть частный случай принятого здесь подхода с использованием нечетких целей, поскольку знание порога эквивалентно заданию некоторой целевой функции такой, что в противном случае. Отсюда мы видим, что симметричная свертка нечетких целевых функций позволяет охватить одну из возможных интерпретаций важности критериев чем важнее критерий, тем более заостренную форму имеет соответствующая целевая функция.

Взвешивание критериев. Очень распространенным методом выражения различий критериев по важности является назначение каждому из них некоторого веса с последующим суммированием этих весов в рамках операции свертки. При этом наиболее распространена формула выпуклой комбинации критериев

Ее главное обоснование заключается в том, что за счет варьирования весовых коэффициентов из набора Р и оптимизации критерия для каждого Р можно пробежать все множество элементов из максимальных в смысле удовлетворения критериям Однако возможность априорной оценки весов весьма проблематична, причем она тем проблематичнее, чем в большей степени значения относятся к величинам, которые не имеют ничего общего между собой (например, скорость и стоимость в случае выбора автомобиля). Когда не является числом, формула (3 12) не применима

Если считать вполне естественным введение нечетких целевых функций для каждого критерия, то при взвешивании критериев формула

оказывается более удовлетворительной, чем формула (3.12), поскольку здесь свертываются величины одной природы Весовой коэффициент характеризует значимость частной целевой функции по отношению к обобщенной целевой функции. Отметим, что описываемые формулы (3 13), определяют несимметричные операторы осреднения. Рассмотренное понятие взвешивания хотелось бы расширить и на другие типы сверток. Это возможно в тех случаях, когда существует аддитивное представление данных операции. Так, каждая операция осреднения вида к легко обобщается с использованием формулы

Когда операция представима в виде будем придерживаться следующей точки зрения. В обычной симметричной свертке целевых функций каждый критерий считается один раз. При взвешивании же вес каждого отдельного критерия может быть произвольным при условии, что общий вес равен (т. е. «эквивалентное” число критериев всегда равно Тогда можно положить, что

Формула (3 15) может непосредственно применяться к большинству операций пересечения и объединения, а также ко многим симметрическим суммам. В последнем случае формула (3 15) применяется с использованием функции которая (будучи ассоциативной) порождает симметрические суммы. Если операция свертки представляет собой произведение, то приходим к использованию эмпирическою метода, предложенного Ягером [32]. Этот метод состоит в неявном взвешивании целевых функций посредством придания

функции принадлежности веса что в конечном счете сводится к такому же изменению целевых функций что и при введении порогов удовлетворения целей Важным случаем, выходящим за рамки проведенных выше рассуждений, оказывается вариант использования операций здесь он анализируется на основе понятия возможности нечеткого события. Пусть нечеткое множество целей, соответствующих объекту :

Пусть — распределение возможностей на множестве целевых функций, представляющее собой нечеткое множество значимых критериев. Один из способов взвешивания критериев с помощью операций или состоит в следующем полагаем

при операции и

при операции соответственно. Тогда в зависимости от того, берется ли или степень совместимости с обобщенной целью выражается необходимостью или возможностью нечеткого события соответственно (см. разд. 1 7). Когда все цели имеют одинакокую важность (т. е. ), формулы (3.17) и (3 18) свогятся к операциям соответственно. Схему свертывания по формуле (3.17) впервые предложил Ягер [40], но с другим обоснованием. Так, формулу (3 17) можно также понимать и как степень истинности высказывания «Если цель важна, то она достигается, причем это выполняется для любою где каждое правило вида.” Если то имеет степень истинности, оцениваемую с помощью многозначной импликации Формулы (3 17) и (3 18) представляют собой частные случаи так называемых нечетких интегралов в смысле Сугено (см. гл 1, а также работы [6, 29]) и интерпретируются как медианы [6, 39]. Это интерпретация оказывается особенно удобной, поскольку в порядковой шкале понятие медианы есть аналог понятия среднего, предполагающего выполнение условия аддитивности Это означает, что формулы (3.17), (3.18) в известном смысле эквивалентны формуле (3 13). Более того, формула (3.13) легко интерпретируется на языке вероятностей, поскольку величина может рассматриваться как вероятность нечеткого события (см. разд. 1 7).

Асимметричное задание обобщенной целевой функции. Встречаются ситуации, когда обобщенная целевая функция строится сложным образом из частных целевых функций. Последние образуют нижний уровень некой иерархии, которую можно неформально описать в терминах искусственного интеллекта как «И-ИЛИ” дерево. Например, если при покупке автомобиля должны выполняться требования типа. «Автомобиль должен быть с мощным двигателем или автомобиль должен быть с маломощным двигателем, но недорогим”, то соответствующий оператор свертки имеет вид

где определены в одной и той же шкале. Примером такого оператора свертки служит оператор

Мы видим, что этот тип асимметрии критериев, во-первых, глубоко отличен от упомянутых ранее; а во-вторых, существует лишь тогда, когда число элементарных целевых функций больше двух.

В качестве вывода, принципиального для построения иерархий с помощью группировки элементарных целевых функций, заметим, что здесь в полной мере проявляется различие между тремя основными типами свертки, конъюнктивной, компромиссной и дизъюнктивной. Отметим, что большинство ранее встречавшихся операций (в большей или меньшей степени) гомоморфны сложению; операции конъюнкции имеют аналоги, выражающие компромиссную стратегию, и т. д. Поэтому есть сомнения относительно целесообразности использования сверток типа или не усугубляющиеся еще и тем, что первая свертка не позволяет выделить наилучшие, а вторая — наихудшие решения. В действительности важность выбора «хорошей” свертки становится более очевидной, когда некоторую обобщенную оценку, составленную из частных, в свою очередь, комбинируют с другими обобщенными оценками. Обсуждение связей, существующих между данным количественным подходом к свертыванию критериев и теорией многомерной полезности (см., например, книгу Кини и Райффа [17]), начато в работах [6,38].

Использование нечетких квантификаторов в свертке. Теория нечетких множеств позволяет определить квантификаторы, промежуточные между кванторами общности V и существования 3 классической логики. Эти квантификаторы представляют собой математические модели лингвистических термов, таких как «большинство”, «мало”, включая и чисто числовые квантификаторы типа ”по меньшей мере половина” Один из способов выражения промежуточной стратегии между конъюнкцией (все цели должны быть достигнуты) и дизъюнкцией критериев (достижение по крайней мере одной цели) заключается как раз в использовании промежуточных квантификаторов («большинство целей должно быть достигнуто”).

Нечеткий квантификатор на множестве из элементов (здесь критериев) есть нечеткое множество целых чисел с носителем в Квантификатор может быть нечетким кардинальным числом нечеткого множества с конечным носителем (см. разд. 1.5). В этом случае имеем Если, наоборот, - число, большее или равное то Если величина известна неточно и определена как нечеткое кардинальное число нечеткого множества то представляет собой степень необходимости того, что

Пусть - нечеткое множество целей, соответствующих объекту , которое определяется формулой (3.16). В этом случае степень истинности утверждения: ”по меньшей мере критериев удовлетворяются” - задается формулой

где - мощность нечеткого множества Если - нечеткая пропорция вида ”по меньшей мере х где х — неточно определенная величина, то есть нечеткое число из интервала [0, 1], такое, что

и тогда вычисляем Данный подход предложен Заде (см. работу [39, гл. 1 ]) в духе операторов осреднения, потому что в рамках этого подхода множество частично достигнутых целей эквивалентно одной полностью достигнутой дели.

Другой подход на основе операторов предложил Ягер [41]. Он относится к чисто порядковым подходам и не предполагает достижения компромисса между критериями. Величина определяется как степень существования нечеткого подмножества С множества с мощностью, соответствующей нечеткому числу так чтобы цели, включенные в множество С, достигались одновременно. Для описания конъюнкции целевых функций можно пользоваться произвольной -нормой

причем в случае, когда эта формула принимает вид

где — некоторая перестановка такая, что Замечая, что разд 5.1), будем интерпретировать величину как степень возможности того, что число удовлетворяемых критериев соответствует

Третий подход к вычислению степени истинности утверждения об удовлетворении критериев был дан авторами в работе [43], а именно было предложено выражение

которое интерпретировалось как степень необходимости того, что — нечеткое множество с мощностью Можно показать, что когда то если величины и связаны между собой вышеприведенным уравнением (см. [43]). Если (тогда нечеткое число означает ”по крайней мере то

справедливо равенство а если нечеткое число означает «для любого”), то Мы вновь получаем интерпретацию кванторов в терминах дизъюнкции и конъюнкции, что. вообще говоря, ложно при использовании подхода, основанного на скалярной мощности

Наконец, может потребоваться оценить «насколько достигнуто большинство целей” В данном случае известны нечеткий квантификатор и распределение весов определяющее нечеткое множество I важных целей. Тогда можно вычислить оценку величины если - абсолютный квангификатор, и величины если - нечеткая пропорция Когда стремятся выбрать некомпенсационный показатель, можно использовать выражение для в котором вместо подставляется член где черта означает, что если цель важна, то она удовлетворяется (что требует выполнения условий или, например,