1.3.2. ВОЗМОЖНОСТЬ И ВЕРОЯТНОСТЬ

Когда имеется информация о появлении событий в форме измеренных частот элементарных событий, полученная мера неопределенности естественным образом удовлетворяет аксиоме аддитивности

т.е. становится вероятностной мерой, которая, конечно, является монотонной в смысле условия (1.2). Формула (1.19) — вероятностный эквивалент аксиом (1.6) и (1.11).

Условие, эквивалентное условиям (1.9) и (1.14), для конечного случая записывается в виде

где Условие нормировки является аналогом условия (1.10). Общая черта вероятностных мер, мер возможности и необходимости заключается в том, что все они могут характеризоваться некоторыми распределениями на элементах универсального множества.

Здесь аналогом соотношений (1.8) и (1.15) является хорошо известное соотношение

в то время как из (1.8) и (1.15) следуют лишь неравенства

Из этих соотношений видно одно из главных различий между возможностью и вероятностью. Вероятность некоторого события полностью определяет вероятность противоположного события. Возможность (или

необходимость) некоторого события и возможность (необходимость) противоположного ему события связаны слабее; в частности, для того, чтобы охарактеризовать неопределенность по отношению к событию А, требуются два числа и удовлетворяющие условию (1.17) или (1.18).

Когда моделируется субъективное суждение, кажется естественным стремление не устанавливать жесткой связи между показателями, свидетельствующими в пользу некоторого события (степень необходимости), и показателями, свидетельствующими против него (степень возможности). В этой ситуации понятие вероятности оказывается менее гибким, чем понятие меры возможности.

Даже когда сохраняется требование аддитивности, можно построить меры возможности и необходимости, если не требовать дополнительно, чтобы значения вероятностей (распределение относились к элементарным событиям. Точнее, пусть непустые, попарно различные подмножества множества (предполагаемого конечным) с соответствующими значениями вероятности такими, что

Величина понимается как значение вероятности совокупности элементарных событий, составляющих причем здесь не оговаривается распределение величины по элементарным событиям. Подмножества называются «фокальными элементами” и могут отражать неточность наблюдений. В этой ситуации вероятность события А можно охарактеризовать лишь неточно как величину, содержащуюся в интервале с границами

Значение вычисляется по всем фокальным элементам, которые делают необходимым появление события А (или влекут за собой событие А). Значение получается при рассмотрении всех фокальных элементов, которые делают возможным появление события А. Отметим, что имеется отношение двойственности между :

Доказано (Шейфер ), что функция Р (соответственно Р) удовлетворяет аксиоме (1.6) (соответственно (1.11)), т. е. является мерой возможности (соответственно необходимости) тогда, и только тогда, когда фокальные элементы образуют последовательность вложенных множеств. А именно если то функция распределения возможностей связанная с определяется в виде [8]

Ясно, что если, наоборот, фокальные элементы являются элементарными (а значит, несовместными) событиями, то т. е. снова возвращаемся к вероятностной мере.

Если схематично представить базу знаний с помощью множества фокальных элементов (которые являются составляющими «значение” в наборе, описывающем информационную единицу), то легко понять, что вероятностные меры естественным образом синтезируют базу точных и дифференцированных знаний, тогда как меры возможности суть отражение неточных, но связных (т. е. подтверждающих друг друга) знаний. Отметим, что функции возможности в этом смысле более естественны для представления чувства неуверенности: от субъекта не ждут слишком точной информации, но желают услышать по возможности наиболее связную речь. Зато точные, но флуктуирующие данные чаще всего получают из наблюдений физического явления.

Несомненно, в базе знаний будет содержаться информация, которая в общем случае не сведется ни к точной, ни к полностью согласованной информации. Вероятность, с одной стороны, и пара «возможность - необходимость” — с другой соответствуют двум крайним, а значит, идеальным ситуациям.

Формулы (1.26) и (1.27) позволяют считать, что функция распределения возможностей определяет класс вероятностных мер такой, что

Это позволяет строго определить понятие математического ожидания в рамках мер возможности. Если — функция, определенная на и принимающая значения из множества действительных чисел то верхние и нижние математические ожидания обозначаемые соответственно, определяются с помощью интегралов Лебега — Стилтьеса (Демпстер [1])

Названия верхних и нижних математических ожиданий оправдываются тождествами

Эти соотношения были получены Демпстером [1] для случая, когда множество конечно; более общий случай описан в работе [15].