2.3.2. ТОЧНЫЕ ПРАКТИЧЕСКИЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ ЧЕТЫРЕХ АРИФМЕТИЧЕСКИХ ОПЕРАЦИЙ

Если то задача решения уравнения (2.18) для получения в случае изотонной функции принимает вид: найти значение такое, что

Вычисления сводятся к решению двух уравнений относительно соответственно, причем их сложность зависит только от сложности одного уравнения относительно и вида

В частности имеем:

для (изотонная функция на ) уравнения первого порядка, если М и — нечеткие интервалы

для (гибридная функция на уравнения первого порядка, если М и - нечеткие интервалы противоположного типа и соответственно:

Таким образом, получаем довольно сильную теорему инвариантности для суммы нечетких чисел: если — множество нечетких интервалов, построенных по функциям и с использованием аффинных преобразований по формуле (2.30), т. е. представляет собой множество так называемых нечетких интервалов -типа, то справедливо следующее.

Предложение 2.4. Если то если Это свойство инвариантности гораздо сильнее свойства инвариантности, полученного для сумм случайных переменных, где инвариантны лишь некоторые распределения, например

нормальные (гауссовы). Независимо от нас эту теорему инвариантности для некоторых особых форм распределений получил Намиас [18].

Легко провести сравнение основных параметров распределений, полученных в вероятностном и нечетком случаях, когда сами распределения нормальны.

Сумма двух нормальных случайных величин, имеющих средние значения а стандартные отклонения соответственно, — нормальная случайная величина со средним значением и стандартным отклонением

Сумма двух гауссовых нечетких чисел (где имеющих модальные значения соответственно, и коэффициенты нечеткости — гауссово нечеткое число с модальным значением и левым и правым коэффициентами нечеткости, равными причем в общем случае

Замечание. Сложение нечетких интервалов позволяет в удобной форме представлять нечеткие отношения близости между действительными числами. В самом деле, пусть Р -нечеткое отношение, определяемое функцией

Нечеткое множество чисел, близких к нечеткому интервалу М в смысле отношения Р, когда определяется с помощью -композиции (см. (2.12)) как , каким бы ни было отношение Р Когда отношение Р - задается в вышеприведенной форме, практически вычислить очень просто, так как

Этот результат легко обобщается на случай, когда если соответствующим образом изменить отношение Р.

Разумеется, предложение 2.4 не справедливо для произведения и частного нечетких интервалов, однако уравнение (2.32) остается простым и дает:

для (изотонная функция на при уравнения второй степени, если — нечеткие интервалы -типа; например, для получаем

для (гибридная функция на при когда М — нечеткий интервал нечеткий интервал -типа, уравнение (2.32) первой степени; например, для получаем

Уравнения второй степени получаются также при вычислении сумм вида где и — положительные нечеткие интервалы действительные числа одного знака.

Зато для точного определения функции принадлежности произведения где — положительные нечеткие интервалы, требуется решение уравнений степени.