2.2. ИСЧИСЛЕНИЕ НЕЧЕТКИХ ВЕЛИЧИН ПРИ НЕВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ ПЕРЕМЕННЫХ

В этом разделе формулируются достаточные условия для выражения -уровня нечеткой величины в виде функции -уровней нечетких величин и Нечеткая величина получается за счет применения принципа обобщения к функции действительных переменных которая принимает действительные значения и строится на основе двух невзаимодействующих нечетких величин и Этот результат позволит нам показать, что исчисление нечетких интервалов является обобщением теории ошибок, а также теории действительных чисел. Более того, оно лежит в основе методов выполнения практических вычислений, которые станут предметом следующего раздела.

2.2.1. ОСНОВНОЙ РЕЗУЛЬТАТ

Предложение 2.1 [4]. Пусть — два нечетких интервала с функциями принадлежности, полунепрерывными сверху Предположим, что для любого множества -уровня не покрывают собой всего множества действительных чисел . Пусть — непрерывная и изотонная функция из т. е.

Тогда множества -уровня нечеткой величины являются образами множеств -уровня нечетких величин М и при отображении Математически это можно записать так

Если - замкнутые ограниченные интервалы вида то т.е. - замкнутый интервал.

Примечание. Соотношение (2 13) доказано в работе [20] для случая нечетких величин с компактным носителем, когда функция принадлежности полунепрерывна сверху; этот результат остается справедливым и в том случае, когда все множества а-уровня рассматриваемых нечетких величин компактны

Соотношение (2 13) справедливо также при выполнении следующих условий (в дополнение к ограничению по непрерывности функции ). функция определена лишь в некоторой области множества (тогда рассматриваются сужения функций на эту область); функция является антитонной: (тогда когда - замкнутые и ограниченные интервалы;

функция является «гибридной” (тогда когда - замкнутые и ограниченные интервалы);

функция имеет более двух аргументов и является монотонной по каждому из них.

Таким образом, мы видим, что согласно предложению 2 1, если для любого а интервалы замкнуты и ограничены, то тоже замкнутый и ограниченный интервал. Следовательно, является функцией принадлежности, полунепрерывной сверху. Более того, согласно гипотезам, используемым в предложении 2.1, если М и — нечеткие интервалы, то также нечеткий интервал.

Замечательным следствием из предложения 2.1 является то, что функцию можно вычислять, взяв по отдельности, с одной стороны, участки возрастания функций обозначаемые и и определенные на интервалах соответственно, а с другой стороны - участки убывания функций обозначаемые и и определенные на интервалах соответственно. Причем, когда функции — изотонны или антитонны, интервалы суть множества максимумов М и

В таблице, помещенной ниже, представлены четыре возможных случая построения функции с двумя аргументами.

Такой способ вычисления функции изображен на рис. 2.2, где рассматривается изотонная функция.

Рис. 2.2

Следовательно, когда функции строго монотонны на участках можно записать следующие соотношения:

Если функция строго изотонна (т. е. ), то при строго возрастающих функциях (строго убывающих функциях и д) из соотношений (2.14) и (2.16) следует равенство [7]

Примечание Формула (2.17) остается справедливой, когда у функций и имеются области постоянства; при расширении понятия обратной функции эти участки соответствуют разрывам функций или

Равенство (2.17) четко показывает, что применение принципа обобщения к важному классу числовых функций приводит к простым и очевидным вычислениям. Для отыскания функции достаточно решить следующее уравнение относительно а:

Однако даже если уравнение (2.18) трудноразрешимо, то можно довольствоваться

либо определением обратных функций задаваемых формулой (2.17) в аналитической форме;

либо дискретизацией интервала [0, 1] и вычислением функции для конечного числа значений а;

тогда получается квантованная функция принадлежности

Два простых результата позволяют свести вычисление функции где — полцмодальные нечеткие величины, к вычислениям на нечетких интервалах [7].

Предложение 2.2. Пусть и - нечеткие множества в такие, что вирдд Тогда если - срез на уровне то выполняется равенство

Предложение 2.3. Если где — выпуклые нечеткие множества в пространстве действительных чисел то

Нечеткая полимодальная величина является конечным объединением нечетких интервалов (возможно, и не удовлетворяющих условию нормировки). Таким образом, эти два результата позволяют получить функцию как объединение нечетких интервалов, построенных комбинированием каждого из нечетких интервалов, составляющих нечеткое множество с нечеткими интервалами, составляющими нечеткое множество Это комбинирование производится на нечетких интервалах одной и той же высоты за счет эффекта среза.