4.2.3. КОМБИНИРОВАНИЕ СТЕПЕНЕЙ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ, ОТНОСЯЩИХСЯ К ОДНОМУ И ТОМУ ЖЕ ВЫСКАЗЫВАНИЮ

Подход с позиций теории возможностей. Предположим, что степень неопределенности, относящаяся к высказыванию выражается в виде степени возможности того, что высказывание истинно, а также в виде соответствующей степени необходимости задаваемых источником информации (в качестве которого может, например, служить правило типа, «если то . Когда располагают различными источниками, то может потребоваться агрегирование пар оценок в единый блок информации Отметим, что всегда справедливо условие

Естественная мысль заключается в объединении информации, поступающей от отдельных источников. Для этого информация, получаемая от источника может рассматриваться как нечеткое множество определенное на базовом множестве следующим образом:

В силу условия (4.50) это нечеткое множество всегда нормально. Тогда нечеткое множество соответствующее паре можно определить в виде пересечения которое выражается с помощью операции взятия минимума. Это позволяет положить Однако при этом вовсе не обеспечивается сохранение условия Оно не выполняется, если источники противоречивы, т. е. когда согласно одному из них высказывание более возможно, чем высказывание а согласно другому - высказывание менее возможно, чем . В подобном случае можно отказаться от свертывания информации и исследовать вопрос надежности источников. Если источники надежны, а поступающая от них информация относится к одной проблеме, приходим к нормировке нечеткого множества путем деления его функции принадлежности на величину . В результате получаем следующие формулы

Важная задача состоит в том, чтобы определить, может ли информация, получаемая от различных источников, подкрепляться, что не допускается в формулах (4.51) и . В частности, эта задача встречается, когда стремятся синтезировать два правила типа, «если то и «если то в виде «если то где представляет собой некоторую комбинацию Например, без привлечения дополнительной гипотезы трудно выразить как функцию в ряде случаев можно иметь либо либо

В частности, надо знать, можно ли сформулировать правило «если х, то — независимо от истинности или нет. Эта проблема, тесно связанная с проблемой выбора невзаимодействующих переменных, входит в число открытых вопросов теории приближенных рассуждений.

Подход с использованием правила Демпстера. Положим теперь, что имеющаяся информация выражена в виде мер правдоподобности и доверия, определенных на множестве высказываний 9 (см. разд. 4 11) Предполагается, что каждый источник доставляет информацию в виде весовой функции определяемой аксиомами (4 2) Пусть — две такие весовые функции, соответствующие информации, получаемой от двух независимых источников. Правило Демпстера [6], которое обобщает формулу Байеса для условных вероятностей (см также работу Шейфера позволяет провести комбинирование весовых функций и получить новую весовую функцию удовлетворяющую аксиомам (4.2) и определяемую следующим образом

Правило Демпстера ассоциативно и коммутативно, что позволяет без потери общности довольствоваться изучением случая с двумя источниками информации. Если функция задает вероятностную меру на то функция также определяет вероятностную меру Более того, если весовая функция сосредоточена на высказывании то приходим к формуле Байеса

Отметим, что условие (4 54) сводится к нормировке весовой функции получаемой по формуле (4 53). В случае совсем не сошасованных между собой источников информации оно может оказаться весьма спорным [54, 10] Величина как раз и отражает противоречивость информации от

двух разных источников. Условие нормировки дает эффект маскировки этой противоречивости, как и в формулах (4 51), (4 52)

Возьмем в качестве исходного случай, когда Предположим, что информация от источника поступает в виде степеней правдоподобности и доверия

где (см условие (4.8)) Воспользовавшись формулами (4 3) и (4 5), легко видеть, что при этом неявно задаваемая весовая функция будет принимать следующие значения: где — вес, приписываемый полному незнанию Мера правдоподобности превращается в меру возможности, как только (предпочтение отдается высказыванию или (предпочтение отдается противоположному высказыванию При получаем вероятностную меру Если имеются две пары коэффициентов то применение правила Демпстера дает следующие результаты

Эти формулы позволяют получить и систематизировать ряд правил комбинирования степеней неопределенности, введенных без ссылок на применение подхода Шейфера — Демпстера.

Весовые функции определяют вероятностные меры. Тогда и получаем (следовательно, функция определяет вероятностную меру) . В итоге

Таким образом получаем симметрическую функцию Силверта (см разд. 3.1.2). Эта формула комбинирования информации используется в работе [23].

Весовые функции определяют согласованные меры возможности Тогда имеем и находим

Отметим, что правила (4 57) используются в экспертной системе для комбинирования, с одной стороны, мер доверия , а с другой стороны, мер недоверия (см. замечание в разд. 4.1.4). Очевидно, что полученная мера доверия будет мерой необходимости. Следовательно, результаты, полученные в рамках подхода с использованием правила Демпстера, легко сравнить с результатами, полученными при использовании подхода с позиций теории возможностей, согласно которому Иными словами, применение правила Демпстера влечет за собой подкрепление информации, получаемой от нескольких источников.

Можно проанализировать и другие частные случаи, охватываемые условиями (4.55).

Мера возможности характеризует информацию, поступающую от источника 1, а вероятностная мера — информацию от источника Тогда в результате комбинирования получаем вероятностную меру.

Имеются две несогласованные, противоречащие друг другу меры возможности Тогда получаем такую меру неопределенности, которая не является ни вероятностной мерой, ни мерой возможности. Можно убедиться в том, что

в то время как формулы (4.51), (4 52) дают

Отметим наличие очевидного структурного подобия между формулами (4.58) и (4.59), причем вся разница между ними заключается лишь в характере используемых треугольных норм

В терминах показателей уверенности правило комбинирования степеней неопределенности, употребляемое в экспертной системе MYCIN, выражается следующим образом [56]

Если заменить показатель уверенности разностью , что предполагается при интерпретации мер доверия и недоверия в терминах степеней необходимости и невозможности (см.замечаниев разд. 4.1.4), то легко проверить, что во всех случаях это правило комбинирования информации в точности соответствует возможностному правилу комбинирования, выражаемому формулами (4.51), (4.52), где операция заменяется умножением. Правило комбинирования степеней неопределенности в экспертной системе MYCIN ассоциативно, тогда как для выражений (4.51), (4.52), представленных в нормальной форме, условие ассоциативности в случае противоречивой информации не выполняется. Когда правило, используемое в экспертной системе MYCIN, эквивалентно правилу (4 57).

Обсуждение. При комбинировании информации в условиях неопределенности могут встретиться трудности нескольких типов. Прежде всего, результаты, получаемые по правилу Демпстера, очень чувствительны к вариациям числовых значений операндов, особенно в случае противоречащих друг другу источников информации В качестве примера рассмотрим случай трех

взаимно исключающих альтернатив с и применим формулы (4.53), (4.54) для анализа информации, выражаемой следующими значениями двух вероятностных весовых функций:

которые соответствуют двум очень противоречивым источникам информации. Тогда получим очень «жесткий” результат, не зависящий от положительных значений весов:

что отмечено в работе [54]. Зато если слегка изменить значения например следующим образом:

то из формул (4.53), (4.54) получим очень неопределенный результат

Первоначальный результат вполне можно обосновать, интерпретируя нулевое значение весовой функции как полную уверенность в том, что альтернативы а и с невозможны, а значит, и невероятны; поэтому единственно возможной остается альтернатива [39]. Это рассуждение несправедливо, если вместо нуля берется очень малое значение вероятности, и в данном случае как по первому, так и по второму источнику информации альтернативы а и с не могут быть окончательно отброшены. Но в таком случае тот факт, что при очень малом изменении значения вероятности (всего от 0 до 0,01) самой маловероятной альтернативы результат комбинирования информации от двух источников резко меняется от полной определенности в выборе альтернативы до почти полной неопределенности, противоречит здравому смыслу. Такое не отвечающее простым интуитивным представлениям поведение правила Демпстера может привести к недоразумениям, если слепо применять это правило в экспертных системах, где коэффициенты неопределенности оцениваются субъективно. В работе [62] можно найти ряд других примеров, а также более подробное обсуждение этой темы. Когда применяется возможностное правило комбинирования степеней неопределенности (4.51), (4.52), то проблема чувствительности становится менее острой, хотя вопрос интерпретации нулевого значения весовой функции остается.

Вообще говоря, правила комбинирования информации с помощью операции конъюнкции с последующей нормировкой результата имеют разрывы в окрестностях тех значений, которые соответствуют полной противоречивости данных. Это показывает, что при наличии серьезных противоречий между различными источниками информации необходимо искать другие варианты ее комбинирования (неконъюнктивного характера — см. работу [62]).

Наконец, жесткое комбинирование исходной информации представляется нецелесообразным, когда стремятся свертывать результаты, полученные с использованием правил, обладающих различной степенью общности. Так, при

поступлении новой информации может потребоваться, чтобы старый вывод был забыт. Эта возможность обусловливает необходимость обращения к так называемым «интеллектуальным” методам комбинирования при разработке проблем объединения неопределенных данных (особенно в случае противоречивой информации). Например, если известно, что Тити — птица, то отсюда следует вывод. ”С большой достоверностью Тити летает” Но если вдобавок мы узнаем, что Тити - очень крупная птица, то можно заключить «Вероятно, Тити не летает”. Здесь мы, скорее, отказываемся от первого вывода, чем комбинируем два заключения