2.2 4. ЗАДАЧА ОБ ЭКВИВАЛЕНТНЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЯХ ФУНКЦИИ

Функция действительных переменных математически может быть представлена различными способами. Пусть и — две функции, такие, что на множестве действительных чисел Легко видеть, что когда их аргументы становятся нечеткими величинами, то в общем случае эти функции не равны между собой Данный случай встречается при рассмотрении свойства дистрибутивности произведения нечетких интервалов относительно их суммы; в работе [17] он отмечен в контексте обычного интервального анализа.

Например, пусть — некоторая функция двух переменных х и функция четырех переменных такая, что . В общем случае имеем отношение включения

но не равенство значений этих функций. Непосредственную иллюстрацию этого положения можно получить, выбрав так как в силу того, что Функция называется несобственным представлением функции в той мере, насколько часто одна и та же переменная появляется в выражении для функции при том, что эта же переменная входит лишь один раз в выражение для функции Соотношение (2.29) является общим для тех случаев, когда используются несобственные представления [4].

Выражение содержит неопределенность в том смысле, что различные переменные не связанные между собой ограничением типа равенства, могут иметь одну и ту же нечеткую область возможных значений Отметим, наконец, что различные нечеткие области с необходимостью соответствуют различным переменным, но обратное утверждение неверно.

Заметим, что результат, получаемый при использовании несобственного представления функции, строго говоря, не является ложным. В самом деле, согласно формуле (2.29) он содержит действительный результат.

В работе [4] показано, что когда рассматриваются функции действительных переменных, принимающие действительные значения, то для нечетких интервалов с функциями принадлежности, полунепрерывными сверху, равенство в формуле (2.29) достигается, если — изотонное несобственное

представление изотопной функции Например, функция не является изотонной, даже если функция изотонна. Зато обе функции определенные на множестве положительных действительных чисел, изотонны; этим объясняется тот факт, что для положительных нечетких интервалов сохраняется свойство дистрибутивности расширенного произведения О относительно расширенной суммы

Наконец, отметим, что для нечетких интервалов с полунепрерывными сверху функциями принадлежности равенство всегда справедливо, тогда как равенство выполняется лишь для положительных или отрицательных значений М. В самом деле, имеем в то время как если , где то

Замечание Условие в общем случае не выполняется для полимодальних нечетких величин. Например, но

В заключение отметим, что если в некотором представлении функции ее аргументы появляются однократно, то это представление обеспечит «хорошую” функцию принадлежности для Такое представление не всегда существует — например, для функции где каждый из аргументов появляется дважды. Тем не менее для нечетких интервалов с полунепрерывными сверху функциями принадлежности два изотонных представления всегда оказываются эквивалентными.