2.2 4. ЗАДАЧА ОБ ЭКВИВАЛЕНТНЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЯХ ФУНКЦИИ
Функция действительных переменных математически может быть представлена различными способами. Пусть
и
— две функции, такие, что
на множестве действительных чисел
Легко видеть, что когда их аргументы становятся нечеткими величинами, то в общем случае эти функции не равны между собой
Данный случай встречается при рассмотрении свойства дистрибутивности произведения нечетких интервалов относительно их суммы; в работе [17] он отмечен в контексте обычного интервального анализа.
Например, пусть
— некоторая функция двух переменных х и
функция четырех переменных
такая, что
. В общем случае имеем отношение включения
но не равенство значений этих функций. Непосредственную иллюстрацию этого положения можно получить, выбрав
так как
в силу того, что
Функция
называется несобственным представлением функции
в той мере, насколько часто одна и та же переменная появляется в выражении для функции
при том, что эта же переменная входит лишь один раз в выражение для функции
Соотношение (2.29) является общим для тех случаев, когда используются несобственные представления [4].
Выражение
содержит неопределенность в том смысле, что различные переменные
не связанные между собой ограничением типа равенства, могут иметь одну и ту же нечеткую область возможных значений
Отметим, наконец, что различные нечеткие области с необходимостью соответствуют различным переменным, но обратное утверждение неверно.
Заметим, что результат, получаемый при использовании несобственного представления функции, строго говоря, не является ложным. В самом деле, согласно формуле (2.29) он содержит действительный результат.
В работе [4] показано, что когда рассматриваются функции действительных переменных, принимающие действительные значения, то для нечетких интервалов с функциями принадлежности, полунепрерывными сверху, равенство в формуле (2.29) достигается, если
— изотонное несобственное
представление изотопной функции
Например, функция
не
является изотонной, даже если функция
изотонна. Зато обе функции
определенные на множестве положительных действительных чисел, изотонны; этим объясняется тот факт, что для положительных нечетких интервалов сохраняется свойство дистрибутивности расширенного произведения О относительно расширенной суммы
Наконец, отметим, что для нечетких интервалов с полунепрерывными сверху функциями принадлежности равенство
всегда справедливо, тогда как равенство
выполняется лишь для положительных или отрицательных значений М. В самом деле, имеем
в то время как если
, где
то
Замечание Условие
в общем случае не выполняется для полимодальних нечетких величин. Например,
но
В заключение отметим, что если в некотором представлении функции
ее аргументы
появляются однократно, то это представление обеспечит «хорошую” функцию принадлежности для
Такое представление не всегда существует — например, для функции
где каждый из аргументов появляется дважды. Тем не менее для нечетких интервалов с полунепрерывными сверху функциями принадлежности два изотонных представления всегда оказываются эквивалентными.