1.5. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД НЕЧЕТКИМИ МНОЖЕСТВАМИ

Понятия включения и равенства легко расширяются на случай нечетких множеств; их наиболее распространенное определение принадлежит Заде [31].

Основные теоретико-множественные операции (дополнение, пересечение и объединение) были определены Заде для нечетких множеств следующим образом

Дополнение нечеткое множество дополнительное к в универсальном множестве 12, опредечяется в виде

Пересечение пересечение двух нечетких множеств и в универсальном множестве определяется в виде

Объединение: объединение двух нечетких множеств и в универсальном множестве определяется в виде

Все эти определения могут показаться в достаточной степени произвольными, хотя и не противоречат нашим интуитивным представлениям Они совпадают с классическими теоретико-множественными определениями, когда рассматриваемые множества являются обычными подмножествами универсальною множества Однако на самом деле обобщения операций дополнения, пересечения и объединения, а также отношений включения и равенства на случай нечетких множеств не единственны. Читатель может обратиться к гл. 3, где представлена сводка операций над нечеткими множествами, отличных от операций (1.45) - (1.47). Точно также и соотношения (1.43), (1.44) могут оказаться слишком жесткими для практического сравнения нечетких множеств между собой. Ими удобно пользоваться главным образом по соображениям математического порядка. Показатели сравнения этих операций будут рассмотрены далее.

Тем не менее определения, приведенные выше, можно оправдать богатством структуры, которую они индуцируют на

Отношение включения, определяемое формулой (1.43), рефлексивно и транзитивно.

Дополнение, определяемое по формуле (1 45), удовлетворяет свойству инволюции и является единственным, если принять, что для каждой пары при переходе от элемента степень принадлежности к нечеткому множеству изменяется симметричным образом по отношению к изменению степени принадлежности к т. е.

Множество [ нечетких подмножеств над универсумом с операциями (1.45) — (1.47) имеет структуру векторной решетки. Это означает, что все свойства классических теоретико-множественных операций сохраняются, кроме законов непротиворечивости и исключенного третьего от которых остается лишь ослабленный вариант

Выражения (1.46) и (1.47), т. е. операции взятия минимума и максимума, — единственно возможные определения операций пересечения и объединения нечетких множеств, которые сохраняют такую структуру на нечетких подмножествах универсума При этом получается некоторая «оптимальная”

структура, так как на невозмбжно сохранить структуру булевой решетки. В частности, законы непротиворечивости исключенного третьего становятся несовместимыми с условиями идемпотентности когда понятие принадлежности градуировано (Дюбуа и Прад [5]).

Отметим еще совместимость включения, пересечения и объединения с понятием -среза. Легко проверить, что при

При этом (1.51) — еще одно характеристическое свойство операций минимума и максимума для пересечения и объединения нечетких множеств. Условия (1.51) и (1.52) выполняются и для строгих а-срезов

Однако операцию дополнения нельзя напрямую заменить тождественной операцией на а-срезах. Для нее имеем

Де Люка и Термини [2] расширили понятие мощности множества на случай нечетких множеств для конечного универсального множества в виде

Используя формулы легко проверив, что:

Интерпретируя нечеткие множества и как функции распределения возможностей на основе последнего соотношения приходим к трактовке мощности нечеткого множества как показателя неточности данных. В самом деле, мощность минимальна для одноточечных множеств, т. е. наиболее точных значений, и максимальна для Наоборот, под показателем точности понимается функция из , которая является монотонно убывающей в смысле вложенности нечетких множеств и максимальна лишь для одноточечных подмножеств базового множества. Примером меры точности, называемой также мерой специфичности (mesure de specificite), служит мера, предложенная Ягером в работе [30], которая для конечного случая, когда элементы множества предполагают упорядоченными по убыванию значений имеет вид

где и по определению

Легко убедиться, что тогда, и только тогда, когда и что если и нормальные нечеткие множества, то имеем

Кроме того, Хигаши и Клир [14] недавно предложили другой показатель неточности для нечетких множеств, определяемый выражением

в предположении, что все элементы множества упорядочены таким же образом Легко проверить, что здесь выполняются следующие условия

б) величина Н минимальна и равна нулю тогда, и только тогда, когда — одноточечное множество;

в) величина Н максимальна и равна тогда, и только тогда, когда

Наконец, мощность нечеткою множества может рассматриваться как нечеткое множество целых чисел, обозначаемое и определяемое Заде [39] следующим образом,

Это определение напоминает выражение (1.36). Когда — обычное множество, данная формула сводится к Свойства нечеткой величины мощности и ее связи со скалярной величиной мощности нечеткого множества рассмотрены в работе Дюбуа и Прада [40]

Замечание Не следует смешивать показатель точности и показатель нечеткости (Кофман Последний позволяет оценить, до какой степени плохо определены границы множества Пусть Указанные показатели характеризуются на бором аксиом, весьма отличающихся от аксиом, задающих показатели точности (Хигаши и Клир [44]) для конечного множества тогда, и только обычное, четкое подмножество множества П

2) показатель нечеткости максимален тогда, и только тоща, когда

Вторая аксиома показывает, что 0,5 - наиболее неопределенное значение принадлежности а третья аксиома задает отношение порядка "более нечеткий, чем” в смысяс этой неопределенности по принадлежности, поскольку Следствием этой аксиомы является равенство множество столь же нечетко, что и ею дополнение Как отмечали Хигаши и Клир в [44], решением для данной системы аксиом будут показатели нечеткости де нормированное расстояние между и его дополнением, да I - обычное множество Если - расстояние Хэмминга, то получаем показатель нечеткости Кофмана Другой показатель был предложен Де . Термини в работе [2] и, как нам кажется, ошибочно назван энтропией Ягер [42] оценивал, насколько пусто пересечение насколько объединение

покрывает универсальное множество 12), причем он опивался на понятие разделения между нечетким множеством и его дополнением, что необязательно связано с расстоянием Эта идея разделения независимо от Ягера разрабатывалась Дюже [43] (см библиографию в работе [44]).