ГЛАВА 4. МОДЕЛИ ПРИБЛИЖЕННЫХ РАССУЖДЕНИЙ ДЛЯ ЭКСПЕРТНЫХ СИСТЕМ

В экспертных системах, разрабатываемых специалистами в области искусственного интеллекта, факты и/или правила часто могут содержать неопределенность или неточность.

Долгое время байесовская модель была единственным количественным подходом к решению задачи логического вывода в условиях неопределенности. Недавно был предложен ряд математических моделей анализа неопределенности, которые существенно отличаются от вероятностных моделей, в частности теория функций доверия Шейфера [39] и теория возможностей. В то же время исследователи и разработчики в области искусственного интеллекта, испытывая необходимость в альтернативе стандартной байесовской модели, предложили модели более эмпирического характера, в частности применяемые в экспертных системах MYCIN [40] и PROSPECTOR [19] (см. также работы [17, 21, 23]). В этой главе делается попытка дать общий обзор ряда дедуктивных подходов, которые теоретически обоснованы и не являются вероятностными в чистом виде. Первая часть данной главы дополняет тему гл 1, посвященную различным моделям неточности и неопределенности, обобщающими понятия вероятности и возможности Затем в двух последующих разделах рассматриваются два основных механизма вывода в экспертных системах, а именно механизмы дедуктивного вывода и комбинирования информации, поступающей от различных источников, при наличии неопределенных или неточных посылок

4.1. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ О МОДЕЛИРОВАНИИ НЕТОЧНОСТИ И НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ

В данной главе информация представлена в виде логических высказываний, обозначаемых или Теоретико-множественные обозначения используются лишь в том случае, когда стремятся представить содержание высказываний. которое во многих случаях является неточным Таким образом, будем рассматривать множество высказываний таких, что

1) если то (где — логическое отрицание)

2) если (где — символ конъюнкции).

Будем обозначать всегда ложное высказывание символом а всегда истинное высказывание — символом Очевидно, что Тогда множество (Р вместе с операциями (где V — операция дизъюнкции, определяемая в виде образует булеву решетку классической логики высказываний Импликация обозначается и как обычно определяется в виде Говорят, что влечет за собой если Когда то высказывания и называются несовместимыми, поскольку если одно из них истинно, то другое ложно; более того, условие эквивалентно условию влечет за собой

4.1.1. ДОВЕРИЕ И ПРАВДОПОДОБНОСТЬ

Здесь предполагается, что — конечное множество.

В вероятностной логике — вероятность того, что высказывание истинно, и — вероятность того, что высказывание ложно, связаны между собой условием Так, если если априори ничего не известно об истинности или ложности высказывания то естественно принять Однако, как только мы имеем дело более чем с двумя альтернативами (попарно несовместимыми), становится трудно представить «полное поскольку, какое бы ни было распределение вероятностей, некоторые высказывания (отличные от всегда истинного высказывания 1) будут более вероятными, чем другие (отличные от всегда ложного высказывания что выглядит парадоксальным с позиции полного незнания (см. разд. 1.2).

Ряд исследований 70-х годов привел к построению невероятностных мер неопределенности (квазимер) причем все из них обладают следующими интуитивно обоснованными минимальными свойствами. Пусть — отображение из <Р в [0,1], удовлетворяющее следующим аксиомам.

Эти аксиомы определяют класс мер неопределенности, рассмотренных в разд. 1.3.

Однако аксиомы (4.1) характеризуют слишком широкое семейство мер неопределенности, вычисления в котором проводить затруднительно.

В работе [39] введен более узкий класс мер доверия (конечно, удовлетворяющих аксиомам (4.1)), которые могут выражаться на основе функции из <Р в [0, 1], такой, что

Тогда мера доверия определяемая на основе функции выражается в виде

Значение характеризует степень доверия, связанную с высказыванием и только с ним Мера доверия к высказыванию получается как сумма степеней доверия к высказываниям, из которых следует Здесь — не мера неопределенности (так как она не удовлетворяет аксиомам (4.1)), а относительный вес. Высказывания для которых называются фокальными высказываниями.

Тогда по принципу двойственности можно определить меру правдоподобности на основе меры

которую также можно выразить через функцию

В работе [39] показано, что функции удовлетворяют соответственно условиям (4.3) и (4 5) для весовой функции определяемой аксиомами (4.2), тогда, и только тогда, когда они являются соответственно супераддитивными и субаддитивными порядка где — целое положительное число. При эти свойства записываются в виде

Тогда выполняются условия

Таким образом, в случае полного незнания будем иметь значения два противоположных высказывания могут показаться правдоподобными, хотя ни одно из них не внушает доверия. Более того, из формул (4.3) и (4.5) ясно, что

Правдоподобность некоторого высказывания всегда больше, чем доверие к нему, что, видимо, удовлетворяет нашим интуитивным представлениям, чему также удовлетворяет и выражение (4.4), которое показывает, что всякое высказывание вызывает тем большее доверие, чем менее правдоподобным выглядит противоположное высказывание

Следует заметить, что если каждое фокальное высказывание несовместимо с любым не следующим из него высказыванием, то меры доверия и правдоподобности, определяемые формулами (4.3) и (4 5), совпадают. Это условие несовместимости формально записывается в виде

С учетом свойств субаддитивности мер правдоподобности и супераддитивности мер доверия равенство и означает, что полученная мера неопределенности есть вероятностная мера Р.

Если назвать «элементарным высказыванием” высказывание которое не следует ни из какого другого высказывания, кроме самого себя, и всегда ложного высказывания, то, обозначая логическую эквивалентность имеем

Условие (4.9) эквивалентно тому, что всякое фокальное высказывание элементарно. Следовательно, свойство эквивалентно тому, что все фокальные высказывания элементарны (а значит, несовместимы). Этот

результат представляет собой изложение на языке логики свойства специфичности вероятностных мер, обсуждавшегося в разд. 1.3.2.

Помимо вероятностей существует другой важный частный случай мер доверия и правдоподобности, меры необходимости и возможности.

Если фокальных высказываний согласованы между собой, т. е. их можно упорядочить таким образом, что влечет влечет то можно показать, что

Здесь мы вновь узнаем уже встречавшиеся в этой книге меры необходимости и возможности как частные случаи мер доверия и правдоподобности соответственно (см. гл. 1), причем их аксиомы выражены здесь скорее в логических терминах, чем с позиции частоты появления событий. Напомним свойство

которое означает, что произвольное высказывание классической логики (т.е. такое высказывание, для которого справедливы условия может быть необходимым (достоверным), лишь когда оно вполне возможно.

Замечание 1. В вероятностной логике событие, которое происходит с вероятностью, равной 1, считается достоверным. Это отнюдь не так для события, возможность появления которого равна 1, поскольку возможность противоположного события также может быть равной 1. Напротив, если необходимость некоторого события равна 1, то оно может рассматриваться как достоверное, причем необходимость противоположного события, а также его возможность равны 0.

Замечание 2. Предположим, что задана весовая функция на определяемая аксиомами (4.2) и относящаяся к фокальным высказываниям. Пусть а — функция, которая ставит в соответствие каждому фокальному высказыванию некоторое элементарное высказывание такое, что — вероятностная мера, порожденная функцией распределения та:

Тогда можно убедиться в том, что здесь обобщается выражение (1.56) (см разд. 1.6). Это согласуется с интуитивным представлением о том, что высказывание, заслуживающее доверия, должно быть вероятным, а вероятное высказывание — правдоподобным.