1.7. МЕРЫ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ В НЕЧЕТКОМ СОБЫТИИ

Нечеткое (плохо определенное) событие может быть описано нечетким множеством. Следовательно, можно попытаться расширить меры неопределенности, введенные выше, для оценки информации о наступлении нечеткого события.

Если тройка описывает вероятностное пространство, где А - -алгебра подмножеств множества элементарных событий вероятностная мера, то нечеткое событие характеризуется функцией принадлежности , измеримой по Борелю , причем согласно [32] вероятность нечеткого события определяется формулой

Это выражение — математическое ожидание функции принадлежности.

Можно проверить, что

и, более того, что

В работах Клемента [17, 18] систематически исследуется понятие нечеткой -алгебры и установлены условия, при которых функции Р, удовлетворяющие равенству (1.62), выражаются формулой (1.60).

Наряду с вероятностями нечетких событий можно определить понятия возможности и необходимости нечеткого события

Если придерживаться семантики понятия возможности, то, как и Заде в [37], придем к использованию в измерениях возможности нечеткого события показателя частичного перекрытия между нечетким множеством и нечетким множеством которое задает функцию распределения возможностей

Можно убеждаться в том, что (для конечного случая), что обобщает выражение (1.7).

В работе Прада [23] формула (1.63) обосновывается в терминах -срезов, поскольку это определение эквивалентно формуле

Утверждается, что аксиома (1.6) для возможностей четких событий остается справедливой и для нечетких событий:

Из выражение (1.65) немедленно следует, что П остается мерой неопределенности в нечетких событиях

В силу двойственности необходимость нечеткого события будет определяться в виде , т. е.

Эту величину можно рассматривать как степень вложенности нечеткого множества в нечеткое множество поскольку

Отсюда видно, что понятию необходимости нечеткого события соответствует более сильное определение вложенности, чем определение (1.43). нечеткое множество включает в себя нечеткое множество если ядро нечеткого множества содержит носитель нечеткого множества

Легко убедиться, что если (в смысле определения (1.43)), то При этом остается справедливой аксиома (1.11) для мер необходимости

и функция — мера неопределенности в нечетких событиях. Отметим, что , если — нечеткое подмножество множества Однако в силу условий (1.49), (1.50) всегда имеем

При этом, если нечеткое множество нормально, всегда выполняется соотношение (1.16), т.

в то время как выражения (1.17), (1 18) не выполняются, если — нечеткое множество.