1.7. МЕРЫ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ В НЕЧЕТКОМ СОБЫТИИ
Нечеткое (плохо определенное) событие может быть описано нечетким множеством. Следовательно, можно попытаться расширить меры неопределенности, введенные выше, для оценки информации о наступлении нечеткого события.
Если тройка
описывает вероятностное пространство, где А -
-алгебра подмножеств множества элементарных событий
вероятностная мера, то нечеткое событие
характеризуется функцией принадлежности
, измеримой по Борелю
, причем согласно [32] вероятность нечеткого события определяется формулой
Это выражение — математическое ожидание функции принадлежности.
Можно проверить, что
и, более того, что
В работах Клемента [17, 18] систематически исследуется понятие нечеткой
-алгебры и установлены условия, при которых функции Р, удовлетворяющие равенству (1.62), выражаются формулой (1.60).
Наряду с вероятностями нечетких событий можно определить понятия возможности и необходимости нечеткого события
Если придерживаться семантики понятия возможности, то, как и Заде в [37], придем к использованию в измерениях возможности нечеткого события
показателя частичного перекрытия между нечетким множеством
и нечетким множеством
которое задает функцию распределения возможностей
Можно убеждаться в том, что
(для конечного случая), что обобщает выражение (1.7).
В работе Прада [23] формула (1.63) обосновывается в терминах
-срезов, поскольку это определение эквивалентно формуле
Утверждается, что аксиома (1.6) для возможностей четких событий остается справедливой и для нечетких событий:
Из выражение (1.65) немедленно следует, что П остается мерой неопределенности в нечетких событиях
В силу двойственности необходимость нечеткого события будет определяться в виде
, т. е.
Эту величину можно рассматривать как степень вложенности нечеткого множества
в нечеткое множество
поскольку
Отсюда видно, что понятию необходимости нечеткого события соответствует более сильное определение вложенности, чем определение (1.43). нечеткое множество
включает в себя нечеткое множество
если ядро нечеткого множества
содержит носитель нечеткого множества
Легко убедиться, что если
(в смысле определения (1.43)), то
При этом остается справедливой аксиома (1.11) для мер необходимости
и функция
— мера неопределенности в нечетких событиях. Отметим, что
, если
— нечеткое подмножество множества
Однако в силу условий (1.49), (1.50) всегда имеем
При этом, если нечеткое множество
нормально, всегда выполняется соотношение (1.16), т.
в то время как выражения (1.17), (1 18) не выполняются, если
— нечеткое множество.