ПРИЛОЖЕНИЕ К ГЛ. 4

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

В программе, приведенной в приложении 2, используется эффективный алгоритм применения обобщенного правила «модус поненс” на основе операции конъюнкции . В ней предполагается, что функции распределения возможностей на непрерывных универсальных имеют форму трапеции. В настоящем приложении излагаются результаты, которые помогут читателю понять, как проводить математическую обработку этих распределений

При заданном правиле «если X есть А, то Y есть В” — и известном факте: ”Х есть А” стремятся определить нечеткое множество В, соответствующее выведенному факту ”Y есть В”. Функция принадлежности задается формулой (4.64), где т. е.

где импликация определяется в виде

Разобьем процедуру вычисления функции принадлежности на два этапа, полагая

1. Вычислить функцию , определяемую в виде

2. Вычислить функцию принадлежности по формуле

Остановимся на этапе 1. Из определения импликации следует

где — множество строгого -уровня нечеткого множества А (см. разд. 1.4), мера возможности, индуцируемая функцией распределения Отметим, что если то Если то Следовательно, в общем случае формула (4.75) упрощается и приводится к виду

Примечание При необходимости этот результат позволяет показать, что В как это оговаривалось в разд. 3.2.

Теперь положим, что — трапециевидные нечеткие интервалы на интервале Обозначая легко увидеть, что

где — нечеткие интервалы, определенные в разд. 3.2 Введем вспомогательные функции определяемые следующим образом:

и примем Форма функции зависит от относительного положения нечетких интервалов т. е. практически от взаимного положения если (в соответствии с обозначениями разд. 2.3.1) , где

Случай 1. Ядро - Тогда легко видеть, что .

Случай 2. Ядро Ядро Пусть тогда

Случай 3. Ядро Ядро Обозначая степень приближенности, такую, что имеем

Случай 4. Ядро Ядро Тогда

Случай 5. . В этом случае

Вычисление функции производится аналогичным образом с заменой а на а на и а на 0 Знаки неравенства также меняются на противоположные Величины " являются обратными к величинам Поскольку функции и являются кусочно-линейными

Рис. П.4.1.

Рис. П.4.2.

Рис. П.4.3.

функция также является кусочно-линейной с, возможно, и большим числом точек разрыва.

Для упрощения расчетов довольствуются некоторой аппроксимацией функции такой, что задана в стандартной форме. Прежде всего отметим, что величины Де всегда определены для как это показано ниже в таблице для случая

Пусть Отметим, что эти величины введены в разд. 4.3.2. Формула для определяется следующими условиями

1. Если или то . Это случай 1.

2. Если то определяется, как и в случае 2 (убирается знак

3. Если то положим определяется, как и Г в случае 3 (убирается знак Можно положить что дает штрихпунктирными линиямина рис.

4. Если положим определяется, как и в случае 4 (убирается знак Можно положить что дает фигуру, ограниченную штрихпунктирными линиями на рис.

Рис. П.4.4.

5 Если то как и в случае 5.

В итоге аппроксимация полностью характеризуется двумя значениями это соответствует одному и тому же во всех случаях преобразованию В и Итак, причем имеет трапециевидную форму и уровень неопределенности .

можно выразить с помощью пятерки что изображено на рис. Имеем Величину легко сравнивать с величиной о (А В) следующим образом

, поскольку следовательно, имеется логическое обоснование для вывода

вследствие этого ядро нечеткого множества В легко вычисляется на основе значений X, таких, что причем их нижняя граница

поскольку Следовательно, есть уровень неопределенности нечеткого множества

Таким образом, аппроксимация отличается от аппроксимации в основном по величине что на практике оказывается неважным. Если где то аппроксимация такова, что

Вывод по обобщенному правилу «модус поненс” сводится тогда к очень простым вычислениям.

Рис. П.4.5.

Рис. П.4.6.

Предположим, что условная часть правши образована из элементарных невзаимодействующих условий, а именно при Пусть меры возможности, соответствующие нечетким интервалам такие, что Легко убедиться, что

Таким образом, если есть модификатор функции принадлежности для правила и факта то

и аппроксимация легко вычисляется по Пара определяющая получается из пар определяющих по формулам

Если факт А уже выражен в виде то для правила модификатор нечеткого множества В определяется как Следовательно, о определяется той же пятеркой, что и за исключением того, что где вычисляется на основе А. Это замечание позволяет облегчить выполнение цепочки нечетких правил Когда стремятся параллельно обрабатывать множества нечетких правил вида есть то есть имеется возможность

либо применять каждое из правил к факту А и комбинировать получаемые частичные результаты В, полагая Этот вариант применяется в машине вывода описанной в приложении 2 В данном случае процедура вывода начинает давать неопределенные результаты, как только множество становится слишком неточно заданным, например в виде

либо комбинировать правила по формуле (4 74) Тогда получают более точные результаты, причем при вычислениях отнюдь не обязательно комбинировать все правила в явном виде. Метод рассуждений по обобщенному правилу "модус поненс” при обработке дизъюнктивных или очень неточных фактов описан в статье [80] На практике берутся правила, у которых условная часть находится во множестве строятся правила, полученные в вывода из начальной базы правил, причем эти правила характеризуются большей неточностью Тогда вполне может использоваться методика приближенных рассуждений, изложенная в настоящем приложении

ПРИЛОЖЕНИЕ 2

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)