4.3.2 ОБОБЩЕННОЕ ПРАВИЛО «МОДУС ПОНЕНС»
Теперь мы можем рассмотреть обобщенное правило «модус
предложенное Заде в работе [51]
где
можно легко вычислить по формулам (4 60) и (4.63), откуда получаем
что записывается в виде
В работах [12,32] показано, что
и что для любого нормального множества
Неравенство (4.65) означает, что как только значительная часть множества А не включается в множество А, то возникает постоянный уровень неопределенности (что интуитивно ясно). В частости, если
то
(полная неопределенность). Таким образом, если известно, что нечеткое множество А «близко” к нечеткому множеству А (но все же заметно отличается от него) в некоторой метрике, то обобщенное правило "модус поненс”, представленное в виде (XVIII), оказывается недостаточной моделью для дедуктивного вывода из посылок ”Х есть А” и «если X есть А, то
есть В” заключения
есть
где В — «близко” к В. Это заключение можно сделать лишь при наличии дополнительной информации о поведении функции
раскрывающей причинную связь между X и
в окрестности
(см. работу
а именно информации о непрерывности и монотонности этой функции. Например, из правила типа: «если помидор красный, то он спелый” и факта «помидор ярко-красный” по обобщенному правилу «модус поненс” нельзя сделать заключение, «помидор очень спелый”; это заключение можно сделать лишь тогда, когда известно, что степень зрелости возрастает с увеличением красноты помидора.
С другой стороны, легко убедиться в том, что исходя из нечетких правил вида: «если X есть А, то
есть В” и «если
есть В, то
есть С” можно построить нечеткое правило «если X есть А, то
есть С” — при условии, что
(см. [12]). Обобщение правила «модус поненс” приведет к тому же результату
что и последовательное применение двух правил
Схему вывода (XVIII) можно сформулировать в терминах степеней истинности с помощью понятия совместимости двух нечетких высказываний, введенного в разд. 4.1.4 в виде [2]
Формулы (4.66) и (4.67) эквивалентны формуле (4.64)
Отметим, что ряд авторов (например, Мамдани [25]) положили, что
, где
декартово произведение нечетких множеств А и В Величина
получается из неравенства (4.62) для
но не является наибольшим решением, что придает некоторую произвольность результату В Вообще говоря, когда посылка «если X есть А, то Y есть В” взвешена некоторым значением нечеткой истинности
представляемой характеристической функцией
на интервале [0, 1], что можно интерпретировать как
где
то в результате получаем
и
Замечание. Очевидно, что это преобразование не имеет смысла, когда импликация
- обычное множество, в то время как значение
не выражает ни истинность, ни ложность
(см. [32]).
Подобным же образом можно рассмотреть и правило «модус толленс” с нечеткими посылками. Обобщенное правило «модус толленс” выражается с помощью уравнения [12]
если импликация
удовлетворяет закону контрапозиции, т. е. выполняется условие
Это необходимо для обеспечения эквивалентности правил: «если X есть А, то Y есть В” и «если Y есть не В, то X есть не А” (т. е.
). Таким образом, можно убедиться, что, например, для
как только
, где
Зато, когда
импликация
не является контрапозициеи, но именно последнюю надо использовать при определении правила «модус толленс” [13].