4.3.2 ОБОБЩЕННОЕ ПРАВИЛО «МОДУС ПОНЕНС»

Теперь мы можем рассмотреть обобщенное правило «модус предложенное Заде в работе [51]

где можно легко вычислить по формулам (4 60) и (4.63), откуда получаем

что записывается в виде

В работах [12,32] показано, что и что для любого нормального множества

Неравенство (4.65) означает, что как только значительная часть множества А не включается в множество А, то возникает постоянный уровень неопределенности (что интуитивно ясно). В частости, если то (полная неопределенность). Таким образом, если известно, что нечеткое множество А «близко” к нечеткому множеству А (но все же заметно отличается от него) в некоторой метрике, то обобщенное правило "модус поненс”, представленное в виде (XVIII), оказывается недостаточной моделью для дедуктивного вывода из посылок ”Х есть А” и «если X есть А, то есть В” заключения есть где В — «близко” к В. Это заключение можно сделать лишь при наличии дополнительной информации о поведении функции раскрывающей причинную связь между X и в окрестности (см. работу а именно информации о непрерывности и монотонности этой функции. Например, из правила типа: «если помидор красный, то он спелый” и факта «помидор ярко-красный” по обобщенному правилу «модус поненс” нельзя сделать заключение, «помидор очень спелый”; это заключение можно сделать лишь тогда, когда известно, что степень зрелости возрастает с увеличением красноты помидора.

С другой стороны, легко убедиться в том, что исходя из нечетких правил вида: «если X есть А, то есть В” и «если есть В, то есть С” можно построить нечеткое правило «если X есть А, то есть С” — при условии, что (см. [12]). Обобщение правила «модус поненс” приведет к тому же результату что и последовательное применение двух правил

Схему вывода (XVIII) можно сформулировать в терминах степеней истинности с помощью понятия совместимости двух нечетких высказываний, введенного в разд. 4.1.4 в виде [2]

Формулы (4.66) и (4.67) эквивалентны формуле (4.64)

Отметим, что ряд авторов (например, Мамдани [25]) положили, что , где декартово произведение нечетких множеств А и В Величина получается из неравенства (4.62) для но не является наибольшим решением, что придает некоторую произвольность результату В Вообще говоря, когда посылка «если X есть А, то Y есть В” взвешена некоторым значением нечеткой истинности представляемой характеристической функцией на интервале [0, 1], что можно интерпретировать как

где то в результате получаем

и

Замечание. Очевидно, что это преобразование не имеет смысла, когда импликация - обычное множество, в то время как значение не выражает ни истинность, ни ложность (см. [32]).

Подобным же образом можно рассмотреть и правило «модус толленс” с нечеткими посылками. Обобщенное правило «модус толленс” выражается с помощью уравнения [12]

если импликация удовлетворяет закону контрапозиции, т. е. выполняется условие Это необходимо для обеспечения эквивалентности правил: «если X есть А, то Y есть В” и «если Y есть не В, то X есть не А” (т. е. ). Таким образом, можно убедиться, что, например, для как только , где Зато, когда импликация не является контрапозициеи, но именно последнюю надо использовать при определении правила «модус толленс” [13].