1.8. НЕЧЕТКИЕ ОТНОШЕНИЯ И ДЕКАРТОВО ПРОИЗВЕДЕНИЕ НЕЧЕТКИХ МНОЖЕСТВ

Нечетким отношением называется нечеткое множество (или функция распределения возможностей) на декартовом произведении базовых множеств. Пусть Два базовых множества. Нечеткое отношение описывается функцией принадлежности с аргументами

Проекция нечеткого отношения описывается распределением возможностей вида [35]

Если рассматривать как возможностный аналог плотности совместного распределения вероятностей, то выражение (1 70) напоминает плотность одномерного распределения.

Если - нечеткое множество в универсуме то можно расширить на случай следующим образом: 1

Тогда множество называется цилиндрическим продолжением множества на

Пусть — два нечетких множества в универсальных множествах и соответственно. Понятия декартова произведения и декартова копроизведения можно расширить на случай нечетких множеств . В случае обычных множеств декартово произведение есть множество а декартово копроизведение определяется в виде , т. е.в терминах цилиндрических продолжений

Очевидно, что декартово произведение нечетких множеств можно определить как пересечение, а копроизведение — как объединение их цилиндрических продолжений, т. е.

Здесь существенно следующее замечание. если — проекция нечеткого отношения на то всегда имеем

где х обозначается операция взятия минимума, отношение вложенности в смысле определения (1.43).

Обратно, если два нормальных нечетких множества в универсумах соответственно, то наибольшее нечеткое отношение такое, что равно декартову произведению Нечеткое отношение называется сепарабельным, если

Показатель неточности Хигаши и Клира, введенный выше, удовлетворяет замечательному неравенству которое согласуется с выражением (1.74); в частности, если нечеткое отношение сепарабельно, то здесь выполняется строгое равенство. Зато когда - сепарабельное нечеткое отношение, равенство несправедливо.

Переменные для которых область изменения ограничена нечетким отношением называются невзаимодействующими (несвязанными) Если — нечеткое множество возможных значений на то переменные X и являются невзаимодействующими тогда, когда совместная функция распределения возможностей для имеет вид

Тогда и нечеткие множества называются невзаимодействующими. Это означает, что область изменения переменной не зависит от значений, принимаемых переменной и наоборот. Формула (1.76) определяет наибольшее (в смысле включения) нечеткое отношение или эквивалентным образом функцию распределения возможностей, наименее связанную с проекциями Иными словами, если — единственные нечеткие ограничения на то выражение (1.76) наиболее естественно определяет распределение Эта формула становится несправедливой, как только переменные и связываются каким-либо другим отношением (например, если

Пусть — мера возможности, определенная по функции распределения возможностей в универсуме Если функция распределения сепарабельна и нормальна, то

и

где — меры необходимости, двойственные мерам возможности соответственно. Если функция сепарабельна и нормальна, то формулы (1.77) и (1.78) распространяются на нечеткие события в универсумах и соответственно, т. е. [23]

Заметим, что, даже если функция не является сепарабельной, и независимо от того, являются ли нечеткими или обычными множествами,

в то время как при указанных предпосылках выражения (1.79) и (1.80) превращаются в неравенства (со знаками соответственно).

Отметим определенную аналогию между независимыми случайными событиями и невзаимодействующими нечеткими переменными, характеризуемыми мерами возможности. Если — совместная вероятностная мера в — вероятностные меры для переменных соответственно, причем X и — две независимые случайные переменные, то

С точки зрения частотной интерпретации вероятности это означает, что событие появляется с одной и той же частотой как в экспериментах, где возникает событие так и в экспериментах, где не имеет места (и наоборот). С другой стороны, выражение (1.76) означает, что область изменения переменной не зависит от области изменения переменной (и наоборот). Зато если для двух событий выполняется соотношение

то из него следует, что влечет за собой или с частотной точки зрения событие А, происходит лишь в экспериментах, где реализуется и событие . В самом деле, поскольку то из формулы (1.84) следует, что или Таким образом, равенство (1.84) далеко не означает независимости событий

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЙ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

(см. скан)