2.1.2 ПРИНЦИП ОБОБЩЕНИЯ
В этом разделе ставится следующая задача: как по заданным невзаимодействующим (см. разд. 1.8) возможностным переменным X,Y,Z, ... каждая из которых характеризуется нечеткой величиной, ограничивающей ее область определения, вычислить нечеткую величину, которая ограничивает область определения переменной
где
- заданная функция, принимающая действительные значения.
Для ее решения рассмотрим два множества
и
а также отображение
из
в
Предположим, что в пространстве
задана мера доверия
множество обычных подмножеств
на котором определена мера
Тогда с помощью обратного отображения
можно построить функцию множества
индуцируемую этим отображением:
где
Легко проверить, что функция множества
является мерой неопределенности в
Хорошо известен частный случай применения формулы (2.4), когда
вероятностная мера. Если
— вероятностная мера на борелевской
-алгебре подмножеств множества
определяющая случайную переменную X, то
называется функцией случайных переменных. Зная функцию распределения
связанную с вероятностной мерой
ищем функцию распределения
или
по формуле
(см., например, [21]).
В настоящей книге рассматривается случай, когда
являемся мерой возможности Тогда формула (2.4) принимает вид
где
— функция распределения возможностей, связанная с мерой возможности
Отметим, что здесь можно выбрать
(следовательно,
Функция множества
действительно является мерой возможности, поскольку
При этом функция распределения возможностей
связанная с мерой возможности
имеет вид
Выражение (2.6) хорошо известно в теории нечетких множеств под названием принципа обобщения (Заде [24, 25]).
Формулу (2.4) можно применять и для построения меры необходимости
двойственной мере П. Таким образом построенная функция множества действительно является мерой необходимости
причем эта мера двойственна мере
поскольку
когда
— отображение. Следовательно, мера необходимости
также выражается через распределение возможности
по формуле (1.14).
Когда имеется декартово произведение
а функция
сепарабельна,
выражается в форме
где
- нечеткие множества, ограничивающие область изменения невзаимодействующих переменных
(см. разд 1.8), то принцип обобщения записывается в виде
Здесь функция
описывает распределение возможностей, ограничивающее область определения переменной
т. е. нечеткое множество, обозначаемое
с функцией принадлежности
Очевидно, что когда нечеткие множества
вырождаются в одноточечные множества
то
также является одноточечным множеством
Нечеткое множество
можно построить с помощью
-срезов
поскольку в [20] показано, что
Однако в общем случае для любого
не выполняется равенство
Имеем лишь отношение вложенности
В работе [20] показано, что равенство в формуле (2 9) получается тогда, и только тогда, когда в выражении (2.7) верхняя грань достигается для любого и
Более того, если рассматриваются строгие
-уровни, то всегда выполняется равенство [19]
Принцип обобщения естественным образом расширяется на случай, когда
является нечетким отношением
рассматриваемым как многозначная функция, которая каждому элементу
ставит в соответствие нечеткое множество
возможных образов, определяемое так
Тогда принцип обобщения записывается в виде
известном под названием
- композиции и обозначаемом символом
, причем обозначения
и
эквивалентны.
Пусть
— нечеткое отношение, определенное на декартовом произведении
. Тогда свойство ассоциативности нечетких отношений записывается в виде
где
— нечеткое отношение на
, определяемое как
Важный частный случай этого свойства ассоциативности получается, если в качестве
и
берутся однозначные функции
и
что записывается в виде