4.1.4. ОЦЕНКА СТЕПЕНИ ИСТИННОСТИ ПРОИЗВОЛЬНОГО ВЫСКАЗЫВАНИЯ

Степень истинности высказывания можно рассматривать как меру соответствия содержания этого высказывания содержанию наших знаний о реальной действительности (которые в некоторых случаях могут быть неполными) Содержание высказывания. ”Х есть - которое требуется оценить, и содержание базового высказывания. ”Х есть А” — представлены соответствующими

функциями распределения возможностей и которые выражают ограничения, наложенные этими высказываниями на значения переменной X. Возможность и необходимость того, что при условии: ”Х есть высказывание: ”Х есть — истинно, можно оценить по формулам

которые характеризуют соответственно возможность и необходимость нечеткого события вычисленные по функции распределения возможностей

Отметим, что, когда наши знания являются точными, т. е. полными (а следовательно, множество А — одноточечное подмножество множества из формул (4.17) и (4.18) следует, что

В то же время, если — обычное множество, т. е. ”Х есть — четкое, а не расплывчатое высказывание, то независимо от природы или

Когда наше знание соответствует одноточечному подмножеству множества а оцениваемые высказывания не содержат расплывчатости, мы вновь получаем четкую оценку степени истинности в смысле классической логики. Тогда, если есть то

Когда множество рассуждений представляет собой декартово произведение базовых множеств , а переменные X и принимающие свои значения на и Т соответственно, являются невзаимодействующими, базовые знания можно представить декартовым произведением нечетких множеств (по формуле (1.72)), а степени возможности и необходимости расплывчатых высказываний, соответствующие нечетким событиям (где -означает декартово копроизведение — формула (1.73)), будут удовлетворять следующим равенствам, уже указанным в разд. 1.8:

Замечание Для того чтобы меры возможности и необходимости могли рассматриваться как степени истинности в смысле экстенсиональной логики, было бы желательно располагать следующими равенствами, выполняющимися в классической логике

Очевидно, что в общем случае ни мера ни мера не удовлетворяют формуле (4.25) . Тем не менее, если А - одноточечное множество, то для указанных мер возможности и необходимости экстенсиональность сохраняется при когда эти меры совпадают (см (4.19)). Более того, равенство (4 25) выполняется и в общем случае, если, следуя Гэйнсу [18], положить

Однако если и обычные множества, определенные на двух различных базовых множествах и Т, а истинность задаваемая формулой (4 28) удовлетворяет условиям (4 26) и то множество А заменяется декартовым произведением на , а объединение множеств и заменяется декартовым копроизведением (пересечение множеств - декартовым произведением этот результат справедлив в силу выполнения равенств Более подробно указанные результаты обсуждаются в работе [9].

Соответствие высказывания ”Х есть - по отношению к высказыванию ”Х есть А” — с большей полнотой оценивается величиной совместимости [51, 52], которая представляет собой нечеткое подмножество интервала [0, 1], определяемое с помощью принципа обобщения (2.6) в виде

Нечеткое подмножество интервала [0, 1], уже встречавшееся в разд. 3.2, есть не что иное, как нечеткое подмножество возможных значений принадлежности множеству некоторого элемента, у которого множество априори возможных значений на множестве рассуждений ограничено областью А. Другими словами, если известно, что - более или менее представительный элемент множества А, то есть функция распределения возможностей переменной Отметим, что если - обычное множество, то есть нечеткое подмножество множества такое, что

Если А - одноточечное множество то Если А - обычное подмножество, то есть подмножество интервала [0, 1], ограниченное сверху величиной , а снизу

В данном общем случае можно показать (см., например, [32]), что

Таким образом, величина содержит информацию о величинах . Когда переменная X, связанная с нечеткими множествами , и переменная связанная с нечеткими множествами С и В, считаются невзаимодействующими, то, воспользовавшись формулами для операций

над нечеткими интервалами (см. гл. 2), можно легко выразить на основе или в терминах или ; тогда получаем равенства, аналогичные равенствам (4.21) - (4.24)

Итак, истинность некоторого высказывания была вычислена в форме совместимости функции распределения возможностей, представляющей это высказывание, с функцией распределения возможностей, отражающей базовое состояние знаний Теперь рассмотрим обратную задачу, на основе некоторого высказывания характеризующегося степенью истинности найти такое состояние знаний, степень совместимости которого с высказыванием будет равна Другими словами, задано высказывание вида. есть где — само высказывание, его (возможно, нечеткая) степень истинности, и надо представить это высказывание в виде функции распределения возможностей, которая будет иметь уровень совместимости с аналогичной функцией распределения, связанной с

При заданных функции распределения возможности представляющей высказывание есть и характеристической функции нечеткого подмножества интервала , представляющего значение истинности наибольшее решение (в смысле отношения вложенности нечетких множеств) уравнения , где определяется по формуле (4 29), находится как [52]

Здесь величина выражает то заключение о реальной действительности, которое можно сделать, зная, что высказывание ”Х есть -истинно.

Замечание Меры доверия и недоверия в экспертной системе MYCIN В предположении, что высказывание оценивается при наличии свидетельства мера доверия и мера недоверия были эмпирически введены в экспертную систему Они удовлетворяют следующим свойствам

где - оцениваемое высказывание, опорное базовое высказывание Формулы и (4.35) аналогичны условиям (4.4) и (4.13) соответственно, где играет роль меры необходимости, - дополнения меры возможности до 1, как это указано в замечании в работе [33]. Кроме того, применяемые в системе MYCIN формулы

являются точными «двойниками» ранее приведенных формул

Показатель уверенности используемый в экспертной системе может рассматриваться как степень истинности

с точностью до аффинного преобразования, поскольку величина аналогична величине, определяемой формулой (4 28), и, кроме того, имеем что аналогично равенству (4 25)