4.1.4. ОЦЕНКА СТЕПЕНИ ИСТИННОСТИ ПРОИЗВОЛЬНОГО ВЫСКАЗЫВАНИЯ
Степень истинности высказывания можно рассматривать как меру соответствия содержания этого высказывания содержанию наших знаний о реальной действительности (которые в некоторых случаях могут быть неполными)
Содержание высказывания. ”Х есть
- которое требуется оценить, и содержание базового высказывания. ”Х есть А” — представлены соответствующими
функциями распределения возможностей и
которые выражают ограничения, наложенные этими высказываниями на значения переменной X. Возможность и необходимость того, что при условии: ”Х есть
высказывание: ”Х есть
— истинно, можно оценить по формулам
которые характеризуют соответственно возможность и необходимость нечеткого события
вычисленные по функции распределения возможностей
Отметим, что, когда наши знания являются точными, т. е. полными (а следовательно, множество А — одноточечное подмножество
множества
из формул (4.17) и (4.18) следует, что
В то же время, если
— обычное множество, т. е. ”Х есть
— четкое, а не расплывчатое высказывание, то независимо от природы
или
Когда наше знание соответствует одноточечному подмножеству
множества
а оцениваемые высказывания не содержат расплывчатости, мы вновь получаем четкую оценку степени истинности
в смысле классической логики. Тогда, если
есть
то
Когда множество рассуждений представляет собой декартово произведение базовых множеств
, а переменные X и
принимающие свои значения на
и Т соответственно, являются невзаимодействующими, базовые знания можно представить декартовым произведением нечетких множеств (по формуле (1.72)), а степени возможности и необходимости расплывчатых высказываний, соответствующие нечетким событиям
(где
-означает декартово копроизведение — формула (1.73)), будут удовлетворять следующим равенствам, уже указанным в разд. 1.8:
Замечание Для того чтобы меры возможности
и необходимости
могли рассматриваться как степени истинности в смысле экстенсиональной логики, было бы желательно располагать следующими равенствами, выполняющимися в классической логике
Очевидно, что в общем случае ни мера
ни мера
не удовлетворяют формуле (4.25) . Тем не менее, если А - одноточечное множество, то для указанных мер возможности и необходимости экстенсиональность сохраняется при
когда эти меры совпадают (см (4.19)). Более того, равенство (4 25) выполняется и в общем случае, если, следуя Гэйнсу [18], положить
Однако если
и
обычные множества, определенные на двух различных базовых множествах
и Т, а истинность
задаваемая формулой (4 28) удовлетворяет условиям (4 26) и
то множество А заменяется декартовым произведением
на
, а объединение множеств
и
заменяется декартовым копроизведением
(пересечение множеств
- декартовым произведением
этот результат справедлив в силу выполнения равенств
Более подробно указанные результаты обсуждаются в работе [9].
Соответствие высказывания ”Х есть
- по отношению к высказыванию ”Х есть А” — с большей полнотой оценивается величиной совместимости
[51, 52], которая представляет собой нечеткое подмножество интервала [0, 1], определяемое с помощью принципа обобщения (2.6) в виде
Нечеткое подмножество
интервала [0, 1], уже встречавшееся в разд. 3.2, есть не что иное, как нечеткое подмножество возможных значений принадлежности множеству
некоторого элемента, у которого множество априори возможных значений на множестве рассуждений
ограничено областью А. Другими словами, если известно, что
- более или менее представительный элемент множества А, то
есть функция распределения возможностей переменной
Отметим, что если
- обычное множество, то
есть нечеткое подмножество множества
такое, что
Если А - одноточечное множество
то
Если А - обычное подмножество, то
есть подмножество интервала [0, 1], ограниченное сверху величиной
, а снизу
В данном общем случае можно показать (см., например, [32]), что
Таким образом, величина
содержит информацию о величинах
. Когда переменная X, связанная с нечеткими множествами
, и переменная
связанная с нечеткими множествами С и В, считаются невзаимодействующими, то, воспользовавшись формулами для операций
над нечеткими интервалами (см. гл. 2), можно легко выразить
на основе
или
в терминах
или
; тогда получаем равенства, аналогичные равенствам (4.21) - (4.24)
Итак, истинность некоторого высказывания была вычислена в форме совместимости функции распределения возможностей, представляющей это высказывание, с функцией распределения возможностей, отражающей базовое состояние знаний Теперь рассмотрим обратную задачу, на основе некоторого высказывания
характеризующегося степенью истинности
найти такое состояние знаний, степень совместимости которого с высказыванием будет равна
Другими словами, задано высказывание вида.
есть
где
— само высказывание,
его (возможно, нечеткая) степень истинности, и надо представить это высказывание в виде функции распределения возможностей, которая будет иметь уровень совместимости
с аналогичной функцией распределения, связанной с
При заданных функции распределения возможности
представляющей высказывание
есть
и характеристической функции
нечеткого подмножества интервала
, представляющего значение истинности
наибольшее решение (в смысле отношения вложенности нечетких множеств)
уравнения
, где
определяется по формуле (4 29), находится как [52]
Здесь величина
выражает то заключение о реальной действительности, которое можно сделать, зная, что высказывание ”Х есть
-истинно.
Замечание Меры доверия и недоверия в экспертной системе MYCIN В предположении, что высказывание
оценивается при наличии свидетельства
мера доверия
и мера недоверия
были эмпирически введены в экспертную систему
Они удовлетворяют следующим свойствам
где
- оцениваемое высказывание,
опорное базовое высказывание Формулы
и (4.35) аналогичны условиям (4.4) и (4.13) соответственно, где
играет роль меры необходимости,
- дополнения меры возможности до 1, как это указано в замечании в работе [33]. Кроме того, применяемые в системе MYCIN формулы
являются точными «двойниками» ранее приведенных формул
Показатель уверенности
используемый в экспертной системе
может рассматриваться как степень истинности
с точностью до аффинного преобразования, поскольку величина
аналогична величине, определяемой формулой (4 28), и, кроме того, имеем
что аналогично равенству (4 25)