ГЛАВА 1. МЕРЫ ВОЗМОЖНОСТИ И НЕЧЕТКИЕ МНОЖЕСТВА

Содержание этой книги основывается на нетрадиционном подходе к моделированию неточности и неопределенности. Базовым понятием этого подхода является мера возможности. Цель этой главы — обоснование, определение и обсуждение меры возможности, а также представление других базовых понятий, необходимых для усвоения последующих глав. Наряду с прочими источниками здесь широко используются результаты, содержащиеся в диссертационных работах авторов [3, 24].

1.1. НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЬ И НЕТОЧНОСТЬ

Неопределенность и неточность могут рассматриваться как две противоположные точки зрения на одну и ту же реальность — неполноту информации. Далее будет предполагаться, что информация выразима в форме логического высказывания, содержащего предикаты и в случае необходимости — квантификаторы. Под базой знаний будет пониматься множество сведений, имеющихся у субъекта или группы субъектов или содержащихся в информационной системе и относящихся к одной и той же проблемной области. Тогда предикаты, появляющиеся при выражении информации, могут интерпретироваться как подмножества одного и того же универсального множества. Любое высказывание может также рассматриваться как утверждение, относящееся к появлению некоторого события. В свою очередь, события представимы в виде подмножеств этого универсального множества, называемого «достоверным событием». Таким образом, имеются три эквивалентных способа анализа множества данных в зависимости от того, делается ли акцент на структуре (логическая точка зрения), содержании (теоретико-множественная точка зрения) этой информации или на ее отношении к действительным фактам (событийная точка зрения).

Мы определим информационную единицу четверкой (объект, признак, значение, уверенность). Признаку соответствует функция, задающая значение (множество значений) объекта или предмета, название которого фигурирует в информационной единице. Это значение соответствует некоторому предикату, т. е. подмножеству универсального множества, связанного с данным признаком. Уверенность есть показатель надежности информационной единицы. Очевидно, что четыре компонента, образующие информационную единицу, могут быть составными (множество объектов, множество признаков, -местный предикат, разные степени уверенности). Кроме того, могут вводится переменные, особенно на уровне объектов, если информация содержит квантификаторы.

В данном контексте можно четко различать понятия неточности и неопределенности: неточность относится к содержанию информации (составляющая «значение» в четверке), а неопределенность — к ее истинности, понимаемой в смысле соответствия действительности (составляющая «уверенность»).

Степень неопределенности информации отражают с помощью квалификаторов (модальностей) типа «вероятно», «возможно», «необходимо», «правдоподобно» и др., которым здесь мы попытаемся придать точный смысл. Модальность «вероятно» исследовалась на протяжении уже двух веков. Вероятность имеет две различные интерпретации. Одна из них — физическая (статистическая) связанная с проведением статистических испытаний и определением частоты появления события. Другая — эпистемологическая, относящаяся к субъективному суждению. Модальности «возможно» и «необходимо» изучались еще Аристотелем, который подчеркнул факт их двойственности (если некоторое событие является необходимым, то противоположное ему событие невозможно). Любопытно, что а противоположность понятию «вероятно» понятия «возможно» и «необходимо» часто рассматривались в рамках двузначной логики как категории типа «все» или «ничего». Но понятие «возможно», как и понятие «вероятно», допускает две интерпретации: физическую (мера трудоемкости выполнения некоторого действия) и эпистемологическую (суждение, которое мало связывает его автора) Наоборот, «необходимо» — гораздо более утвердительное понятие в физическом или эпистемологическом смысле (субъективная необходимость есть определенность, уверенность). Естественно допустить наличие степеней возможности и необходимости, как и степеней вероятности (оттенки возможности находятся уже в естественном языке, поскольку можно сказать, например, «очень возможно»). Правдоподобность и доверие имеют чисто эпистемологическую интерпретацию и связаны с возможностью и необходимостью соответственно. Каждое из этих понятий соответствует некоторому способу вывода из заданной базы знаний: заслуживает доверия все то, что не посредственно дедуктивно выводится из базы знаний, а правдоподобно все то, что не противоречит ей (индуктивная точка зрения).

Примерами неопределенных высказываний являются высказывания:

Будем называть информационную единицу точной, если подмножество, соответствующее «значение» в наборе, является одноточечным, т. е. его нельзя разбить на части. В зависимости от способа анализа множества данных будем говорить об элементарном высказывании (т. е. не имплицированном никаким другим высказыванием, за исключением всегда ложного высказывания) синглетоне (теорегико-множественная точка зрения) или элементарном событии. Точность, конечно, зависит от способа определения базового множества от его «зернистости», например от выбора единицы измерения). В других случаях будем говорить о неточной (imprecise) информации.

Во французском языке есть и другие квалификаторы для описания неточности, такие как vague (расплывчатый, неясный, смутный), flou (нечеткий, размытый), general (обобщенный), ambigu (двусмысленный). Двусмысленность представляет собой форму неточности, связанную с языком: иногда она является следствием омонимии языка. Информация двусмысленна в той мере, в которой она относится к различным контекстам или различным возможным базам (универсальным множествам). Этот тип неточности не рассматривается в данной книге: универсальное множество, связанное с информационной единицей, считается известным. Обобщенность есть «доброкачественная» форма неточности, связанная с процессом абстрагирования: информация является обобщенной, если указывается множество объектов с общим свойством. Нечеткий, размытый, расплывчатый характер информации заключается в отсутствии четких границ у множества значений соответствующих объектов. Многие квалификаторы естественного языка расплывчаты, и для них характерна обобщенность. В качестве примера можно привести неточное четкое высказывание: с точностью с точностью неточное нечеткое высказывание: приблизительно равен приблизительно, 1). Расплывчатый термин «приблизительно» характеризует совокупность значений, более или менее адекватных е.

Отсюда следует, что информация может быть одновременно нечеткой и неопределенной, о чем свидетельствует предложение: «Вероятно, что завтра выпадет много осадков» (количество, осадки завтра, много, вероятно).

Для заданного множества сведений противоречие между неточностью и неопределенностью выражается в том, что с повышением точности содержания высказывания возрастает его неопределенность. И наоборот, неопределенный характер точной информации приводит в общем случае к некоторой неточности окончательных заключений, выводимых из этой информации.