5.2.3. ЗАДАЧИ, ОТНОСЯЩИЕСЯ К НЕЧЕТКОМУ ПРОГРАММИРОВАНИЮ

В разд. 5.2.1 и 5.2.2 были изложены основные принципы составления и выполнения нечетких инструкций, а также приведены соответствующие иллюстрации. В этом разделе кратко рассмотрены задачи, связанные с использованием переменных или нечетких порогов, с наличием неточной информации о среде, с исчислением нечеткозначных аргументов, которые присутствуют в нечетких инструкциях, требующих четкого выполнения, или, наконец, с наличием условных нечетких инструкций в нечеткой программе.

Использование «изменяемых” или нечетких порогов. В предыдущем иллюстративном примере в качестве возможных рассматривались лишь те интерпретации, у которых степень совместимости с заданием была выше некоторого предварительно установленного порога, а все другие интерпретации отбрасывались. Затем различные степени совместимости оставшихся интерпретаций использовались при проведении выбора единственной интерпретации. Можно было бы рассмотреть вариант использования «изменяемых” порогов. Идея заключается в том, чтобы сначала взять повышенный порог в интересах сужения множества рассматриваемых интерпретаций, например, вести поиск «перекрестка, расположенного примерно в 100 м”, прежде всего в зоне малого отличия расстояния от значения 100 м, а затем в случае отказа от первоначально выбранной интерпретации при необходимости снизить этот порог с целью расширения множества рассматриваемых интерпретаций.

Недостаток использования порогов состоит в появлении разрывов функций совместимости для интерпретации нечетких инструкций, в то время как введение понятия нечеткого множества служит как раз для преодоления таких разрывов. Исправить этот недостаток можно, применяя нечеткие пороги. Нечеткий можно определить как нечеткий интервал в виде четверки (см. разд. 2.3.1), которая интерпретируется следующим образом.

Пусть — нечеткое множество, соответствующее заданию, а — одна из интерпретаций этого задания Нечеткий порог сводится к преобразованию в такому, что Легко убедиться в том, что

если то (интерпретации, имеющие уровень совместимости с заданием по меньшей мере равный считаются эквивалентными)

если то (интерпретации, имеющие уровень совместимости с заданием меньше отбрасываются) промежуточные уровни совместимости изменяются в большей или меньшей степени в зависимости от вида функции Пороговый уровень X, понимаемый в обычном смысле, выражается посредством если если Эффект разрывности обычных порогов можно свести на нет, выбирая в качестве непрерывную функцию, удовлетворяющую условию

Неточное восприятие среды. В разд. 5.2.1 и 5.2.2 неявно предполагалось, что человек или робот имеет правильное и точное представление о своей

Рис. 5.5

среде, т. е. для вышеприведенного примера он способен точно определить значения расстояний и ориентации в различных направлениях, а встречающиеся рестораны также считаются принадлежащими к одному из характерных типов ресторанов. И только лишь указанные в инструкции расстояния, направления и ориентиры (в данном случае рестораны) полагались неточными.

Теперь предположим, что расстояния и направления могут оцениваться неточно или нечетко, причем эти оценки представляются с помощью функции распределения возможностей. Точно так же рестораны могут на вид не полностью соответствовать одному из выделенных характерных типов, а, скорее, с разной степенью удовлетворять нескольким из них. Тогда восприятие конкретного рассматриваемого ресторана можно представить функцией распределения возможностей на множестве характерных типов. Например, ресторан, который можно отнести к «европейскому”, и ресторан, воспринимаемый как ”по-видимому, китайский”, соответствуют функциям распределения возможностей типа изображенных на рис. 5.5

Степень совместимости неточной оценки, представленной функцией распределения возможностей с неточным заданием, представленным функцией распределения возможностей (причем и определены в одном и том же базовом множестве можно оценить с помощью двух скалярных МеР степени возможности того, что оценка соответствует заданию, определяемой в виде

степени необходимости того (или, если угодно, степени уверенности в том), что оценка соответствует заданию, определяемой в виде

Эти две величины выражают оценку соответственно возможности и необходимости нечеткого события (см разд 1.7) Мера возможности оценивает величину общей части функций распределения возможностей мера необходимости оценивает степень «полного перекрытия” распределения распределением Имеем Когда оценка Е является точной, е. соответствует одноточечному множеству в тогда, разумеется, получаем что сводится к случаю, рассмотренному в разд. 5.2.1 и 5.2.2

Мера возможности и мера необходимости играют важнгл роль в "фильтрации” базы данных, содержащей неточную или нечеткую информацию, которая осуществляется посредством некоторого фильтра, пред ставляющего собой процедуру опроса и в случае необходимости содержаще неточность и нечеткость (см. также работу [3] и гл. 6 настоящей книги) В случае неточного восприятия среды для оценки совместимости рассма триваемой интерпретации с заданием у нас имеются два числа и вместо одного при точном восприятии среды. Различные рассма триваемые интерпретации можно классифицировать по степени их воз можности, причем для разделения интерпретаций, имеющих равные степени возможности, используется показатель уверенности В частности, когда задание является неточным, но четким когда — обычное подмножество базового множества мера необходимости не равна 0 лишь тогда когда мера возможности равна 1 Следует также отметить что пень необходимости оценивает уверенность в том, что рассматриваемая терпретация удовлетворяет заданию, а отнюдь не уверенность в том что эта интерпретация «хороша”, т. е. позволяет успешно выполнить последующие инструкции В самом деле может существовать несколько различных интерпретаций, вполне совместимых с одним и тем же заданием

Процедуру выполнения инструкций, изложенную в разд. 5.2.1 и проиллюстрированную на примере в разд 5 2.2, можно расширить на случай неточного восприятия среды, воспользовавшись в качестве основного критерия для упорядочения интерпретаций мерой возможности . причем здесь мера необходимости берется лишь как второстепенный критерий для уточнения этого порядка. В данном примере если оценки расстояний не точны, то это может привести к необходимости рассмотрения большегс перекрестков, которые с учетом имеющейся информации можно считать находящимися на заданном расстоянии. Вообще говоря, неточность оценки среды может только увеличивать общее числе интерпретаций некоторой инструкции.

Программа, приведенная в приложении, позволяет вычислять степени воз можности нечеткого события, определенного на дискретном носителе, например в случае неточности восприятия характера ресторана

Неточные задания, полученные расчетным путем. В рассмотренном в разд примере неточные задания, представленные с помощью функций распределения возможностей, в явном виде присутствовали в инструкциях Вообще говоря, эти задания можно получить и расчетным путем в виде инструкций, включающих нечеткие операнды или функции, а в результате дающих функцию распределения возможностей. В частности, благодаря результатам, полученным в разделе 2 и позволяющим без труда совершать операции над нечеткими числами, машинное выполнение инструкций, включая расчеты с неточными заданиями, не представляет особых сложностей, кроме, быть может, правил условного ветвления Этот вопрос кратко изучим ниже Например, рассмотрим случай проверки следующего условия если то принимается подход 1;

противном случае принимается подход 2, где X и - две нечеткие вели

чины. Возможность того, что величина X больше или равна величине можно вычислить, как, впрочем, и возможность противоположного события Имеем

и

где функции распределения возможностей, представляющие нечеткие множества и которые характеризуют более или менее возможные значения переменных X и соответственно (см. разд. 3.2.2). Отметим, что либо либо поскольку из двух противоположных альтернатив по крайней мере одна должна быть вполне возможной. Предположим, что подход 1 состоит в вычислении величины результирующее значение которой представляется в виде функции распределения возможностей , а подход 2 соответствует другому способу вычисления величины дающему функцию распределения возможностей Тогда функция распределения возможностей, ограничивающая множество более или менее возможных значений величины в случае подхода 1 задается формулой

а в случае подхода 2 — формулой

Более того, если в подходах 1 или 2 берутся значения переменных X или то необходимо, чтобы функции распределения возможностей, используемые при вычислении были согласованными с ограничением (подход 1) или с ограничением (подход 2). В случае подхода 1 воспользуемся формулой

а в случае подхода 2 — формулой

где нечеткие интервалы определены в разд. операция пересечения определяется операцией Если в дальнейшем возникает необходимость в комбинировании результатов, полученных в рамках подходов 1 и 2, следует воспользоваться операцией объединения нечетких множеств (в смысле которыми выражаются эти результаты.

Более подробное обсуждение вопросов, связанных с применением условных нечетких инструкций, читатель сможет найти в работах [1,5]. Мы же завершим разд. 5.2.2, посвященный различным вопросам нечеткого программирования, кратким обсуждением правил нечеткого условного ветвления в

программе, которая не только вычисляет функции распределения возможностей, но и осуществляет неточное задание выполняемых действий.

Условная инструкция в неточно заданной процедуре. В примере из разд. 5.2.2 в маршруте, задаваемом как последовательность нечетких инструкций, не имеется ни одной инструкции типа условного ветвления. В общем случае неточно определенная процедура такого типа может содержать проверки выполнения правил вида

Здесь само условие, а также действия 1 и 2 могут задаваться неточно или нечетко. В этом случае следует поставить в соответствие действию 1 степень возможности удовлетворения данного условия, а действию 2 — степень возможности неудовлетворения того же условия. Если это условие имеет вид: ”Х есть S”, где - функция распределения возможностей на множестве — текущая оценка значения переменной X, то две указанные степени возможности определяются соответственно как (см. формулы (5.5) и (5 6)). В итоге выберем инструкцию, которая соответствует действию с большей степенью возможности В случае неудачи при выполнении этой или последующих инструкций (после анализа их различных возможных интерпретаций) можно осуществить возврат назад к действию, которое первоначально было отброшено, несмотря на достаточную степень его возможности.