3.2.2. СРАВНЕНИЕ ДВУХ НЕЧЕТКИХ ИНТЕРВАЛОВ

Далеко не всегда имеется возможность найти больший из двух нечетких интервалов, поскольку они могут в значительной мере перекрываться Первое естественное побуждение заключается в том, чтобы воспользоваться для различения нечетких интервалов расширенными операциями (см. работу Фрилинга [13]) Тем более легко видеть, что, даже когда два нечетких интервала очень близки между собой, заметным образом накладываясь друг на друга, они различимы с помощью операций Например, если Р - нечеткий интервал и Как только возрастающие или убывающие части функций принадлежности пересекаются, операция уже не позволяет различать нечеткие интервалы, как бы не были удалены друг от друга ядра Здесь необходима количественная оценка возможных различий, чего нельзя достичь с операциями

В рамках теории возможностей, чтобы узнать, что больше Р или Q, можно сравнивать, с одной стороны, множества Р и а с другой стороны, множества с помощью некоторого показателя типа «возможность — необходимость нечетких событий” (см. разд. 1.7), т. е. вычислять по функции распределения др возможность и необходимость нечетких событий Тогда получаем четыре основных показателя сравнения

Если X и — переменные, области определения которых ограничены нечеткими множествами соответственно, величина интерпретируется как возможность присвоить X значение, по крайней мере не меньшее, чем е. наибольшие значения, которые может принимать переменная X по меньшей мере равны наименьшим значениям, которые может принимать переменная. Если — две непрерывные функции, имеем где определяется заменой нестрогого неравенства на строгое неравенство в выражении для

Эта величина интерпретируется как возможность того, что наибольшие значения, которые может принимать переменная X, будут больше наибольших значений, принимаемых переменной (рис. 3.15); эту возможность можно обозначить символом

Рис. 3.15.

Эта величина интерпретируется как необходимость того, что наименьшие значения, принимаемые переменной X, будут по крайней мере равны наименьшим значениям, принимаемым переменной (см. рис. 3.15); она будет обозначаться

Эта величина интерпретируется как необходимость того, что переменной X могут присваиваться только большие значения по сравнению с переменной т. е. как необходимость того, что наименьшие значения, принимаемые X, будут больше наибольших значений, принимаемых Если - непрерывные функции, то где определяется заменой в выражении для нестрогого неравенства на строгое неравенство

Фактически возможностный подход позволяет построить шестнадцать характеристик, описывающих относительные положения Для их получения достаточно заменить Р на или на в формулах (3.25) - (3.28).

Наше исследование этих характеристик [9] показывает, что в общем случае лишь шесть из них взаимно независимы. Это отражено в габл 3.3, где Р и — симметричны.

Таблица 3.3

Эти шесть значений являются необходимыми и достаточными для характеризации относительного положения двух произвольных четких интервалов.

нако можно показать, что в большинстве случаев для нечетких интервалов имеем равенства

и

Когда равенство (3.29) нарушается, два входящих в него показателя позволяют различать относительные положения интервалов вида и интервалов вида

Аналогичное замечание справедливо для показателей, входящих в равенство (3.30) Практически для обсуждения относительныхлрложений двух нечетких интервалов достаточно четырех показателей:

Эти показатели удовлетворяют следующим свойствам

Первые четыре свойства представляют собой не что иное, как переведенные в контекст задачи сравнения нечетких интервалов характеристические свойства мер возможности и необходимости Два последних свойства по сути являются другой формой записи равенств (3 29) и (3.30) и выполняются при тех же условиях

Аналогично можно ввести и показатели равенства между нечеткими интервалами Р и Естественным образом вводятся три показателя

1) , т. е. возможность нечеткого события Р, вычисляемая по функции распределения (соответственно возможность нечеткого события вычисляемая по функции распределения Эту величину можно также обозначить считая, что переменные X и Y ограничены нечеткими множествами с функциями принадлежности соответственно, е. ее можно рассматривать как возможность присвоения общего значения переменным X и Y

2) , т. е. необходимость нечеткого события Р, вычисляемая по функции распределения . Речь идет о показателе включения интервала в интервал Р, который понимается как оценка достоверности того, что при неко тором заданном значении переменной можно присвоить это же значение переменной X

3) — показатель включения интервала Р в интервал который имеет аналогичную интерпретацию.

Несимметричность двух последних показателей приводит к стремлению построить их симметричную комбинацию конъюнктивного типа

Использование в качестве операции пересечения оправдывается свойством идемпотентности; при т. е. можно потребовать выполнения равенства Величина характеризует достоверность того, что переменным X и можно присвоить одно и то же значение. совместимое с нечеткими интервалами Р и (каким бы оно ни было) Эти показатели равенства можно легко переформулировать за счет привлечения показателей неравенства, введенных выше так, чтобы выполнялись условия

Таким образом, четыре вновь рассмотренных показателя неравенства нечетких величин содержат всю информацию, необходимую для обсуждения свойства равенства нечетких интервалов.

Замечание В показатель сравнения двух нечетких величин можно ввести градации, заменяя четкое отношение нестрогого порядка формулах некоторым нечетким отношением отражающим субъективную оценку того, насколько желательно, чтобы одна величина была больше некоторой один способ действий состоит в направленном изменении нечетких интервалов Р и нечетких множеств чисел с помощью нечеткого отношения близости, типа рассмотренного в разд так, чтобы сделать менее ограничительными функции распределения возможностей, связанные с этими нечеткими множествами Для нечетких интервалов и эта идея предложена в работе [3]