§ 7. Свойства эволюты

Теорема 1. Нормаль к данной кривой является касательной к ее эволюте.

Доказательство. Угловой коэффициент касательной к эволюте, определяемой параметрическими уравнениями (7) предыдущего параграфа, равен

Заметив, что (в силу тех же уравнений (7))

получаем соотношение

Но у есть угловой коэффициент касательной к кривой в соответствующей точке, поэтому из полученного соотношения следует, что касательная к кривой и касательная к ее эволюте в соответствующей точке взаимно перпендикулярны, т. е. нормаль к кривой является касательной к эволюте.

Теорема 2. Если на некотором участке кривой радиус кривизны изменяется монотонно (т. е. либо только возрастает, либо только убывает), то приращение длины дуги эволюты на этом участке кривой равно (по абсолютной величине) соответствующему приращению радиуса кривизны данной кривой.

Доказательство. На основании формулы (2) § 1 имеем

где — дифференциал длины дуги эволюты; отсюда

Подставляя сюда выражения (1) и (2), получим

Найдем, далее, . Так как

Дифференцируя по обе части этого равенства, получим после соответствующих преобразований

Деля обе части равенства на получим

Возводя в квадрат, получим:

Сравнивая равенства (3) и (4), находим

откуда

По условию не меняет знак (R только возрастает или только убывает), следовательно, и не меняет знак. Примем для определенности (что соответствует рис. 152). Следовательно, .

Пусть точка имеет абсциссу абсциссу Применим теорему Коши к функциям на отрезке

где — заключенное между

Введем обозначения (рис. 152)

Тогда или . Но это значит, что

Совершенно так же доказывается это равенство и при возрастании радиуса кривизны.

Рис. 152.

Мы доказали теоремы 1 и 2 для того случая, когда кривая задана уравнением в явном виде

Если кривая задана параметрическими уравнениями, то эти теоремы остаются в силе, причем их доказательство проводится совершенно аналогично.

Замечание. Укажем следующий простой механический способ для построения кривой (эвольвенты) по ее эволюте.

Пусть гибкая линейка согнута по форме эволюты Предположим, что нерастяжимая нить, одним концом укрепленная в точке огибает эту линейку. Если мы будем эту нить развертывать, оставляя ее все время натянутой, то конец нити опишет кривую эвольвенту. Отсюда происходит и название «эвольвента» — развертка.

Рис. 153.

Доказательство того, что полученная кривая действительно является эвольвентой, может быть проведено с помощью установленных выше свойств эволюты.

Рис. 154.

Отметим, что одной эволюте соответствует бесчисленное множество различных эвольвент (рис. 153).

П ример. Пусгь имеем окружность радиуса а (рис. 154). Возьмем ту из эвольвент этой окружности, которая проходит через точку

Учитывая, что , легко получить уравнения эвольвенты окружности:

Отметим, что профиль зуба зубчатого колеса имеет чаще всего форму эвольвенты окружности.