Главная > Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов, т.1
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 7. Свойства эволюты

Теорема 1. Нормаль к данной кривой является касательной к ее эволюте.

Доказательство. Угловой коэффициент касательной к эволюте, определяемой параметрическими уравнениями (7) предыдущего параграфа, равен

Заметив, что (в силу тех же уравнений (7))

получаем соотношение

Но у есть угловой коэффициент касательной к кривой в соответствующей точке, поэтому из полученного соотношения следует, что касательная к кривой и касательная к ее эволюте в соответствующей точке взаимно перпендикулярны, т. е. нормаль к кривой является касательной к эволюте.

Теорема 2. Если на некотором участке кривой радиус кривизны изменяется монотонно (т. е. либо только возрастает, либо только убывает), то приращение длины дуги эволюты на этом участке кривой равно (по абсолютной величине) соответствующему приращению радиуса кривизны данной кривой.

Доказательство. На основании формулы (2) § 1 имеем

где дифференциал длины дуги эволюты; отсюда

Подставляя сюда выражения (1) и (2), получим

Найдем, далее, . Так как

Дифференцируя по обе части этого равенства, получим после соответствующих преобразований

Деля обе части равенства на получим

Возводя в квадрат, получим:

Сравнивая равенства (3) и (4), находим

откуда

По условию не меняет знак (R только возрастает или только убывает), следовательно, и не меняет знак. Примем для определенности (что соответствует рис. 152). Следовательно, .

Пусть точка имеет абсциссу абсциссу Применим теорему Коши к функциям на отрезке

где — заключенное между

Введем обозначения (рис. 152)

Тогда или . Но это значит, что

Совершенно так же доказывается это равенство и при возрастании радиуса кривизны.

Рис. 152.

Мы доказали теоремы 1 и 2 для того случая, когда кривая задана уравнением в явном виде

Если кривая задана параметрическими уравнениями, то эти теоремы остаются в силе, причем их доказательство проводится совершенно аналогично.

Замечание. Укажем следующий простой механический способ для построения кривой (эвольвенты) по ее эволюте.

Пусть гибкая линейка согнута по форме эволюты Предположим, что нерастяжимая нить, одним концом укрепленная в точке огибает эту линейку. Если мы будем эту нить развертывать, оставляя ее все время натянутой, то конец нити опишет кривую эвольвенту. Отсюда происходит и название «эвольвента» — развертка.

Рис. 153.

Доказательство того, что полученная кривая действительно является эвольвентой, может быть проведено с помощью установленных выше свойств эволюты.

Рис. 154.

Отметим, что одной эволюте соответствует бесчисленное множество различных эвольвент (рис. 153).

П ример. Пусгь имеем окружность радиуса а (рис. 154). Возьмем ту из эвольвент этой окружности, которая проходит через точку

Учитывая, что , легко получить уравнения эвольвенты окружности:

Отметим, что профиль зуба зубчатого колеса имеет чаще всего форму эвольвенты окружности.

1
Оглавление
email@scask.ru