51. Схема Горнера. Теорема Безу.

Рассмотрим более подробно процесс деления многочлена на линейный двучлен вида . В этом случае деление упрощается и может быть проведено по специальной схеме, называемой обычно схемой Горнера.

Запишем основное равенство, определяющее частное и остаток, в случае делителя вида ; частное имеет степень , а остаток — нулевую степень, т. е. просто является числом:

Как уже указывалось, это равенство — тождественное, многочлены в его левой и правой частях совпадают; раскрыв скобки, получим равенства, выражающие совпадение коэффициентов при одинаковых степенях х:

Отсюда последовательно находим

Вычисление коэффициентов частного и остатка располагают в такой таблице:

Верхняя строка таблицы заполняется сразу; в нижней строке помещаются коэффициенты частного и остаток; она заполняется постепенно, слева направо. В каждой клетке нижней строки записывается сумма коэффициентов из верхней строки и умноженного на а результата, записанного в соседней слева клетке нижней строки.

Пример 1. Выполнить деление многочлена на по схеме Горнера.

Решение. Составляем таблицу:

Частное равно остаток .

Пример 2. Разделить, пользуясь схемой Горнера, многочлен на двучлен .

Здесь . В остальном решение выполняется так же

Частное равно остаток равен 9.

Замечательно, что остаток от деления многочлена на двучлен может быть найден независимо от выполнения деления, без отыскания частного. Действительно, положим в равенстве

. Так как равенство тождественное, то оно удовлетворится и мы найдем

Остаток от деления многочлена на двучлен вида равен значению многочлена при

Как следствие отсюда вытекает

Теорема Безу. Многочлен делится без остатка на двучлен в том и только в том случае, когда а — корень многочлена.

Пример 3. Найти остаток от деления многочлена на двучлен выполняя деления).

Решение. Значение остатка находим так:

Пример 4. При каком значении А, многочлен

разделится на нацело?

Решение. Для того чтобы деление выполнялось нацело, в силу теоремы Безу необходимо и достаточно, чтобы число —2 было нулем многочлена. Имеем

откуда находим: многочлен разделится на нацело, если только при этом условии).

Пользуясь теоремой Безу, легко выяснить, при каких условиях выражения вида

будут делиться на без остатка.

1) делится на при любом . Действительно,

откуда делимость вытекает в силу теоремы Безу.

2) делится на при четном и не делится при нечетном . Действительно, находим

откуда и следует наше утверждение.

3) делится на при нечетном и не делится при четном не делится на ни при каком .

Доказательство аналогично и предоставляется читателю.