Связь геометрии и квантовой теории поля
Стандартный и исторический подход к классической гравитации состоит в том, чтобы начать с рассмотрения принципа эквивалентности и развивать в дальнейшем геометрическую точку зрения.
Фейнман гордился тем, что он редко следовал стандартному подходу. В углу доски в своем служебном кабинете он написал " Что я не могу создать, я не понимаю." Это выражение фактически оставалось нетронутым в углу этой доски в течении более 7 лет. Я впервые увидел его в конце 1980 года, и оно все еще оставалось там в феврале 1988 года (см. [Feyn 89]). Таким образом, не удивительно, что Фейнман воссоздает общую теорию относительности, исходя не с геометрической точки зрения. Практическая сторона такого подхода состоит в том, что не стоит с самого начала изучать некоторые выкрутасы ("fancy-schmanzy", как он любил называть это) дифференциальной геометрии для того, чтобы выучить физику гравитации. (На самом деле, существует только необходимость изучить некоторые аспекты квантовой теории поля). Тем не менее, когда конечной целью стала проблема квантования гравитации, Фейнман почувствовал, что геометрическая интерпретация как раз и находится у него на пути. С точки зрения теории поля можно было бы действительно избежать определения таких вещей, как физическое значение квантовой геометрии, флуктуирующая топология, пространственно-временная пена и т.д., а вместо этого посмотреть геометрическое понимание после квантования. (См., например, вопрос Сакса и ответ Фейнмана в работе [Feyn 63b]). Фейнман определенно чувствовал, что геометрическая интерпретация является "удивительной" (раздел 8.4), но тот факт, что безмассовое поле спина 2 может интерпретироваться как метрика, было просто "совпадением", которое "может быть понято как представление некоторого вида калибровочной инвариантности".
Сейчас у нас есть геометрическая интерпретация классических калибровочных теорий, таких как электродинамика и теория Янга - Миллса (см., например, [Yang 77]). Векторные потенциалы являются коэффициентами связности на главном расслоенном пространстве, где структурная группа есть калибровочная группа (U(l) для электромагнетизма, SU(2) для полей Янга - Миллса и SU(3) для классической хромодинамики). Напряженности поля (т.е. электрические и магнитные поля в электродинамике) являются компонентами кривизны, ассоциированными со связностями (потенциалами). Заряженное вещество, которое поле связывает, ассоциируется с векторным расслоением (см., например, [DrMa 77]). Отсюда следует, что интуитивная догадка Фейнмана о связи между геометрией и калибровочной инвариантностью оказывается правильной. С точки зрения фейнмановского интеграла по траекториям, квантовая электродинамика и квантовая хромодинамика равнозначно интегралам по пространству связностей на главном расслоенном пространстве.
В то время, как может быть показано, что геометрическая интерпретация калибровочных полей не помогает решить проблемы квантовой электродинамики (КЭД) или квантовой хромодинамики (КХД) (т.е. адекватным образом вычислить или оценить эти интегралы), это несомненно приводит ко многим полезным интуитивным догадкам о топологических аспектах этих теорий (например, неоднозначность Грибова, инстантоны, вакуумный угол и топологически неэквивалентные вакуумы) и к построению новых калибровочных теорий типа Янга-Миллса с топологическими массами.
