10.3. Действие для материальных полей в гравитационном поле

Следующее, что мы рассмотрим - подготовим переход к квантовой теории.

Если скалярные частицы описываются скалярным полем тогда соответствующий вклад в действие есть

(10.3.1)

Легко может быть сделано обобщение на случай хриволинейных координат; мы предполагаем, что

(10.3.2)

Это выражение является очевидным образом инвариантным при произвольных координатных преобразованиях, это есть одно из налагаемых на него требований, и приводится к соответствующему выражению для плоского пространства. Тем не менее, мы можем выписать другие выражения, которые являются идеально правильными инвариантами, квадратичными по полям и которые включают в себя тензор кривизны. Все эти выражения обращаются в нуль в том случае, когда пространство становится плоским. Возможно, что действие должно содержать пропорции а и 0 соответствующих членов, например,

(10.3.3)

Мы видим, что действие, которое мы записываем, не является единственным. Первое слагаемое, которое мы записали, должно здесь присутствовать, так как только оно и приводит к правильному результату для плоского пространства. И нет экспериментального свидетельства о приливных силах и т.д. и т.п., что могло бы быть причиной для включения или невключения других слагаемых, таких как в выражении (10.3.3). Единственная разумная вещь, которую мог бы сделать физик теперь, состоит в том, чтобы выбрать некоторые слагаемые, которые являются "проще", чем другие слагаемые, пренебречь более сложными членами в действии и посмотреть, какого рода теорию он получил в результате. В некотором смысле возможно производные есть более сложные объекты, чем просто поля, поэтому член с множителем является более сложным, поскольку он содержит четыре производных, две в полях и две в тензоре Слагаемое с множителем а содержит только две производных, тем не менее обе производных по полю ди. Однако трудно определить усложнение теории, которое было бы сделано недвусмысленным образом; всегда возможно провести интегрирование по частям, так что производные исчезают в одном месте и вновь появляются в другом - простота, которая очевидна в случае, если начать формулировать теорию с одной исходной точки, может не соответствовать простоте, которая получилась бы, если теорию формулировали бы, исходя из другой начальной точки.

Если нами используется построение квантовой механики, исходя из уравнения Шредингера, то простейшее действие, по-видимому, должно быть таким, которое соответствует Но так как мы начали формулировать квантовую механику, задаваемую через интегралы по траекториям, то простейшее действие кажется должно быть таким, которое соответствует Каждая из возможностей выбора значения а кажется наипростейшей с соответствующей точки зрения. Я не знаю никакого удовлетворительного способа определить величину а и считаю, что определение действия для скалярного поля является неоднозначным.

Значение члена, такого как член со множителем в соотношении (10.3.3), состоит в том, что он характеризует то, должны ли мы иметь дело с частицей, которая может чувствовать гравитационное поле вне области, достаточно большой по сравнению с той, которая характеризуется локальной кривизной. Если частица имеет структуру, которая в некотором смысле инфинитезимально мала, тогда она не может чувствовать кривизну. Но если, что скорее всего, частица, двигаясь, совершает движение типа штопора в окрестности своего положения, то член, включающий в себя локальную кривизну, может быть очень хорошо представлен.

Мы приведем пример, рассматривая ситуацию в электродинамике, как иное исходное положение приводит к иному ответу достаточно безобидным путем. Здесь принцип минимального электромагнитного взаимодействия приводит к замене

в лагранжиане. Предположим теперь, что перед тем, как мы сделали такую замену, мы записали интеграл от лагранжиана следующим образом:

Последнее слагаемое не записывается при обычном изложении теории, поскольку оно тождественно равно нулю, причем потому, что оно в точности равно нулю, не может быть никакого твердого и надежного правила относительно того, как отбросить этот член.

Тем не менее, когда мы делаем замену градиента в соответствии с соотношением (10.3.4) для тото, чтобы включить электромагнетизм, результирующий лагранжиан оказывается не тем же, каким он был до преобразования; лагранжиан имеет дополнительное слагаемое,

(10.3.6)

где — . Этот член есть член аномального момента, открытого Паули. (Впервые это было сообщено мне Вентцелем.)

Электродинамика частиц спина 1 усложняется также аномальными квадрупольными моментами. Очевидно, не существует более простого выражения для лагранжиана, который можно записать, так что в теоретических работах должны представляться вычисления с альтернативными теориями, которые соответствуют различным аномальным моментам.

В нашей теории гравитации ситуация аналогична. Это как если бы частица обладала аномальным моментом инерции, добавляемым к обычному моменту инерции, обусловленному распределением массы.

В электромагнетизме подобные неоднозначности не появляются при описании частиц с нулевым спином - они впервые появляются при описании частиц со спином 1/2. С другой стороны, в гравитации трудности возникают даже при обсуждении простейшего случая скалярных частиц. Не существует решения для преодоления таких трудностей - мы должны признать, что множество альтернативных теорий (различных значений а) оказывается возможным.

Движение частицы в заданном гравитационном поле описывается уравнением, которое получается, когда мы вариируем действие по отношению к полю . В зависимости от того, как мы переходим к квантовой механике, различные варианты действия приводят к простейшим результатам. Таким образом, мы не можем доказать, что что-либо проще, если это не приводит к одновременной простоте при решении множества различных задач. Для различных задач необходимо выбрать различные значения а для того, чтобы упростить решение, или для того, чтобы отказаться от производных. Если положить то тогда мы приходим к ковариантной простоте только в том смысле, что требуется меньше алгебраических вычислений при таком исходном положении. При этом нет какой-либо подразумеваемой физической простоты, так как все значения а приводят к различным степеням сложности или в той, или в другой задаче.

Давайте приступим к получению уравнений движения поля материи .

Исходя из соотношения (10.3.2), мы можем использовать следующие вариации обратной матрицы и квадратного корня от детерминанта:

для того, чтобы получить следующее выражение для

Далее мы вычисляем вариацию по отношению к полю и кладем вариацию равной нулю для того, чтобы получить нечто, что является аналогичным уравнению Клейна - Гордона

(10.3.9)

Получим уравнение, в котором тензоры появляются путем деления на скалярную плотность

(10.3.10)

Используя соотношения (10.1.20) и (10.1.21), мы видим, что последнее уравнение может быть переписано в виде

(10.3.11)

Связь с уравнением Клейна - Г ордона может быть замечена при рассмотрении случая обычный даламбертиан просто заменен на его ковариантный аналог, ковариантный даламбертиан.

Предшествующие шаги дали нам вполне определенную теорию, поскольку мы точно определили, как движется материя и какой есть тензор источника. Легко проверить, что для тензора, который мы выписали, ковариантная дивергенция равна нулю, трюк здесь состоит в том, чтобы использовать каждый раз, когда это необходимо, сами полевые уравнения. Таким образом, ход рассуждений оказывается последовательным, все соответствующие тензоры являются бездивергентными, и это оказывается достаточно существенным, чтобы в рассуждениях исходить из этого. Для того, чтобы построить более полную теорию, мы добавляем дополнительные члены к действию так, чтобы представить другие известные поля. Мы записали сначала действие в плоском пространстве, так как мы знаем это; исходя из некоторого вида критерия, мы выберем наипростейшую форму для действия, которое есть инвариант.

Рис. 10.1.

Требование, что действие должно быть инвариантом, приводит к ковариантным уравнениям для полей. Это не является ограничением на то, какие известные поля мы можем включить в рассмотрение, поскольку все известные законы физики могут быть ковариантным образом записаны. Дифференциальные законы обладают этим свойством. Любой закон, записанный как дифференциальное уравнение, может быть легко преобразован к ковариантной форме; мы предполагаем, что в касательном пространстве этот закон оказывается тем же самым, каким мы его знаем, затем мы вращаем и растягиваем координаты. Результирующие уравнения включают в себя производные полей вплоть до второй производной метрического тензора.

Как только мы проделали эти выкладки сначала в дифференциальной форме, затем в ковариантной форме, тогда мы можем использовать нашу теорию для того, чтобы вычислить, например, уравнение движения вещества в звезде. Рассмотренные процессы могут описываться законами, характеризующими непрозрачность, законами рассеяния и т.д. Что не является допустимым, так это использование законов, которые могли бы нарушить сохранение энергии. Мы не можем, например, сказать "до свидания" тем нейтрино, которые образовались; эти нейтрино теряют энергию из-за наличия гравитационного потенциала, когда они покидают звезду, и последовательная теория не может быть написана, если мы пренебрегаем этим эффектом и влиянием плотности энергии нейтрино на модификацию гравитационного поля. Следовательно, не будет достаточным записать интегральные уравнения диффузии со свободными траекториями с конечным средним, но мы должны следовать уравнениям движения частиц диффузии, которые описываются полными законами, записанными в виде дифференциальных уравнений.

Для того, чтобы сделать выражения для нас проще, запишем здесь подинтегральную функцию в выражении для действия для полей непосредственно через метрический тензор.

Наши предыдущие выражения выглядят проще, поскольку они определяются через комбинации метрического тензора, но этот вид часто оказывается более полезным

Последний член есть производная, поэтому его интегрирование в выражении для действия дает в результате нуль, так что часто мы можем вполне обоснованно выбросить этот член из рассмотрения. Для многих задач будет достаточно записать действие как интеграл от первого члена, обозначаемого как , так что

где

Теперь мы снова готовы построить квантовую теорию, после того как мы имеем теорию с эйнштейновской точки зрения. Эта теория является более полной, чем та, которую мы обсуждали с венерианской точки зрения - мы имеем полный лагранжиан, включающий взаимодействие с материей, и который оказывается правильным во всех порядках. Если мы ограничим наше рассмотрение вселенной, которая содержит только гравитационные поля и скалярную материю, то теория поля получается путем анализа разложений через константу взаимодействия:

(10.3.14)

В этом лагранжиане члены, которые квадратичны, соответствуют просто пропагаторам, члены, включающие в себя произведения двух и одного h, и члены, включающие в себя три h и два соответствуют диаграммам, которые показаны на рис. 10.1. Таким путем мы приходим к предписанию для вычисления амплитуд квантовой механики для движения материи после того, как мы начали рассмотрение с геометрической точки зрения.

Когда придет время, мы будем пользоваться классической теорией для того, чтобы обсудить движение классических моментов и обсудить космологические вопросы, и мы будем использовать квантовую теорию для того, чтобы вычислить излучение гравитационных волн.

Третья альтернативная точка зрения на гравитацию будет представлена после того, как мы обнаружим пути, пользуясь которыми, мы приходим к выводу, что квантово-механическая теория запутывает нас.

Рассматривая эти члены в действии, мы могли бы проанализировать, почему полевое слагаемое может не включать в себя определенную пропорцию величины . Эта величина должна быть интегралом, пропорциональным объему Вселенной, который предположительно есть константа. Получившееся в результате уравнение для такого поля ведет себя до некоторой степени так же, как если бы гравитоны имели массу и универсальный источник. Рассмотрение предельно большого радиуса действия гравитационных сил делает довольно бессмысленным введение такого слагаемого в действие, даже если бы это приводило к согласованной теории. Уравнения движения, получающиеся из подобного рассмотрения, есть

(10.3.15)

Постоянная известна как "космологическая постоянная". Эйнштейн хотел, чтобы Вселенная была замкнутой, так что он определил эту постоянную как значение, которое допускает для такой Вселенной стационарные решения. Позднее Эйнштейн ссылался на введение космологической постоянной как на свою Великую Ошибку; хотя он выбрал ее значение равным нулю, он мог бы придти к заключению, что Вселенная могла бы расширяться (или сжиматься). И только позднее Хабблом было открыто, что удаленные галактики движутся от нас и Вселенная расширяется. С того времени, как такое изменение эйнштейновской теории вселенной было введено, космология была "испорчена" трудностями, связанными с определением значения космологической постоянной. Я согласен со второй гипотезой Эйнштейна и думаю, что значение является наиболее вероятным.