8.6. Кривизна как величина, относящаяся к произвольным координатам

Вывод выражений для кривизны через общие координаты происходит наиболее гладким образом при использовании способа, состоящего в последовательном восхождении по ступенькам к искомому результату. Далее, мы снимаем ограничение на первые производные (которые теперь могут быть не равными нулю), но оставляем координаты локально ортогональными; тогда выражения следующие

(8.6.1)

Величина есть та же самая, что и была ранее с нулевыми первыми производными. Так как мы уже выбрали вторые производные, нам необходимо только рассмотреть преобразование типа

(8.6.2)

Кубические члены не будут влиять на правильность приводимого ниже результата. Выражение для первых производных

(8.6.3)

вставляем в уравнение, выражающее через ,

(8.6.4)

где . Члены, соответствующие первым производным, будут равными нулю при следующем выборе

(8.6.5)

Нам необходимо решить это ургшнение таким образом, чтобы было выражено через исходной системы координат. Эта процедура делается с использованием обычных приемов; вычитаем уравнение, полученное перестановкой , затем собираем подобные члены и т.д., и получаем следующее соотношение:

(8.6.6)

Из соотношения (8.6.4) видно, что есть (удвоенное) выражение в квадратных скобках в правой части соотношения (8.6.4) с заменой в соответствии с соотношением (8.6.6). Эти величины теперь могут быть заменены на в соотношении (8.5.9) для того, чтобы найти компоненты кривизны, выписанные через старые координаты (ограниченные только тем, что они должны быть локально ортогональными), следующим образом:

(8.6.7)

Осталось только ортогонализировать первоначально произвольные координаты. Это может быть сделано линейным преобразованием:

(8.6.8)

Все, что осталось нам сделать, состоит в том, чтобы выбрать

и переписать все соотношения еще раз. Производные при выбранном преобразовании определяются матрицей и мы имеем

Среди соотношений, которые могут быть получены, имеется следующее соотношение:

(8.6.11)

Что же происходит с различными членами? Поскольку

то, следовательно, (в последующих соотношениях латинские индексы соответствуют штрихованным координатам)

(8.6.13)

Когда мы вставляем эти соотношения в выражения для компонент мы получаем, что не является более инвариантом. Окончательное выражение для (при выводе которого используется соотношение (8.6.11)) имеет следующий вид:

(8.6.16)

а закон преобразования имеет вид:

(8.6.17)