Лекция 11
11.1. Кривизна в окрестности сферической звезды
Теперь мы обратим внимание на нахождение решений уравнений Эйнштейна для некоторых случаев, которые представляют физический интерес. Оказывается, что имеется очень небольшое число наблюдений, связанных с гравитацией, которые не могут быть адекватно объяснены ньютоновской теорией гравитации, и имеются только два решения уравнений Эйнштейна, которые пытались найти. Одно из них есть решение, которое описывает гравитационное поле в окрестности звезды (которое должно точно определять отклонение луча света и прецессию орбиты Меркурия). Другое решение связано с описанием распределений массы, близких к однородным, и тем самым, это есть решение, которое представляет интерес при рассмотрении космологических моделей.
Если мы предполагаем наличие сферической симметрии, мы ожидаем, что метрический тензор будет давать в результате выражение возможно следующего вида для квадрата интервала собственного времени
где символы А, В, С, D обозначают функции, которые могут зависеть от координат 
но не от 
. Такое решение допускает динамические решения, в которых движение материи является чисто радиальным.
Можно уменьшить число неизвестных функций, сделав разумный выбор новых координат. Например, заменим масштаб координаты 
согласно следующему правилу:
(11.1.2)
получившееся в результате выражение 
через 
вместо 
имеет тот же самый вид, но новая функция D есть в точности 
. Таким образом, функция D оказывается излишней, так как 
соответствует нашей задаче без потери общности.
Второе преобразование делается путем замены масштаба времени. Мы положим
(11.1.3)
Используя это преобразование, мы вводим Новую функцию, которая может быть выбрана так, что коэффициент при произведении 
равен нулю. Это означает, что если положить 
то потери общности не происходит.
Обычно с этого места, чтобы продвинуться в вычислениях, принято работать не с функциями А и С, а с новыми функциями v и А, которые определяются следующим образом:
(11.1.4)
(в этих обозначениях мы следуем Шваршпильду). Метрический тензор является диагональным, и если мы выберем обозначения индексов (1,2,3,4) для координат 
, то компоненты метрического тензора являются следующими:
(11.1.5)
Поскольку тензор является диагональным, элементы обратного тензора ди являются обратными элементами соответствующих компонентов более точно имеем следующие выражения:
Теперь может быть проведено вычисление элементов тензора кривизны. Эти вычисления напрямую приводят к цели, однако они скучны и утомительны, поскольку в символах Кристоффеля имеется достаточно много производных и должно быть вычислено довольно много сумм.
Когда все это проделано, то компоненты тензора кривизны могут быть вычислены через функции 
и их производные по отношению ко времени t и радиальной координате 
. Для того, чтобы запись была более экономной, мы используем штрихи и точки для обозначения производных следующим образом:
(11.1.7)
и т.д.
Точные выражения для тензора Римана являются следующими:
Все остальные компоненты равны нулю, за исключением тех, которые могут быть получены тривиальной перестановкой индексов некоторого элемента в соотношениях (11.1.8).
