Предисловие

В течение 1962-63 академического года Ричард Фейнман прочитал курс гравитации в Калифорнийском Технологическом Институте в городе Пасадина, США. Используя нетрадиционный подход к данному предмету, Р. Фейнман предназначал этот курс перспективным аспирантам и молодым докторам философии, для которых привычны методы релятивистской квантовой теории, в частности, фейнмановские диаграммы теории возмущений в квантовой электродинамике. Два молодых доктора философии Фернандо Б. Мориниго и Уильям Г. Вагнер записали этот курс лекций. Записи этого курса лекций были отпечатаны и их копии продавались в книжном магазине KAЛTEXa в течение многих лет.

Эти записи лекций не были опубликованы, но были довольно широко распространены, и благодарящих уникальному и глубокому взгляду на основания физики они оказали огромное влияние на многих ученых, которые их прочитали. Мориниго и Вагнер проделали большую работу по сохранению в столь хорошем виде этой части научного наследства Р. Фейнмана. Теперь, благодаря усилиям Брайана Хатфилда, эти лекции наконец опубликованы и стали легко доступны более широкой аудитории. При подготовке записок лекций для публикации Хатфилд исправил небольшие ошибки и улучшил обозначения, но в целом он следовал оригинальному машинописному тексту, подготовленному Мориниго и Вагнером. (Только два коротких фрагмента полностью опущены в тексте книги.

Фейнман прочитал всего 27 лекций, по одной лекции в неделю в течении полного 1962-63 академического года. Слушатели встречали лектора на третьем этаже Лаборатории Ист Бридж КАЛТЕХа в крошечной аудитории, в которой было только два ряда стульев; не более, чем 15 слушателей посещали каждую лекцию. (По крайней мере, двое из студентов, посещавших эти лекции, Джеймс Бардин и Джеймс Хартль позднее внесли свой существенный вклад в теорию гравитации). Эти лекции записывались на магнитофон, но поскольку лекции читались в высшей степени неформально, Мориниго и Вагнер сочли необходимым существенным образом пересмотреть материал для того, чтобы выпустить записи лекций в читаемом виде.

По большей части Вагнер работал над математической стороной изложения, а Мориниго работал над текстом. Получившиеся в результате лекции просматривались Фейнманом, он делал различные поправки и добавления, затем записи лекций распространялись среди студентов. Эти лекции были проникнуты духом Фейнмана, окроплены его шутками, но неминуемо его причудливое использование языка было только частично сохранено.

Только 16 лекций включены в эту книгу; они соответствуют, грубо говоря, первым 16 из 27 лекций, которые Фейнман прочитал. Мориниго и Вагнер подготовили записи всех 27 лекций, но в конце академического года Фейнман просмотрел и исправил только первые 11 лекций. Очевидно, что он отвлекся на различные другие проекты и больше уже не возвращался к редактированию записей лекций. Таким образом, записи только первых 11 лекций распространялись среди студентов в течении 1962-63 годов и были размножены для продажи в книжном магазине КАЛТЕХа в последующие годы.

В июле 1971 года готовилось новое воспроизведение записей лекций для распределения через книжный магазин, и Фейнман разрешил включить в новое издание дополнительно еще пять лекций. Новые лекции предварялись своеобразным "отказом от ответственности":

Широкий интерес к этим лекциям по гравитации привел к третьему воспроизведению этих записей. Тогда, когда готовилось это издание, профессор Фейнман любезно разрешил включить еще пять лекций. Эти лекции должны были продолжить предыдущие одиннадцать лекций, распространенных в 1962-63 годах, однако они никогда удовлетворительным образом не редактировались и не исправлялись так. чтобы профессор Фейнман мог считать, что они могут быть включены в текст лекций.

Эти лекции сохраняют их грубую форму: за исключением небольших ошибок, исправленных при копировании, они остаются в том же самом виде, в котором они были восемь лет назад: профессор Фейнман не проверял их. Выражается надежда, что читатель будет держать это в уме и рассматривать следующие лекции как рассказ о том, о чем профессор Фейнман размышлял в то время, а не воспринимать этот текст как разрешенное и полностью обработанное воспроизведение его работы.

Действительно, кажется верным, что Фейнман не исправлял детально новые лекции. Например, лекция 14 содержит неправильные утверждения (обсуждаемые ниже), и в 1971 году (или даже в течении нескольких недель после чтения этой лекции) он мог бы легко убедиться в том, что эти утверждения неправильны и проверить их.

Таким образом, мы призываем читателя держать приведенный выше "отказ от ответственности" в уме при чтении лекций 12 - 16.

Поскольку Фейнман никогда не разрешал распространение записей Мориниго и Вагнера последних 11 лекций, они не публикуются в этом томе. Эти последние лекции главным образом касаются радиационных поправок в квантовой гравитации и теории Янга - Миллса. Мы предполагаем, что Фейнман не хотел, чтобы они распространялись, поскольку он не был удовлетворен их содержанием.

Замечательно, что одновременно с этим курсом по гравитации, Фейнман также создавал и читал новаторский курс физики для студентов-второкурсников, который был увековечен как второй и третий том "Фейнмановских лекций по физике" [Feyn 63а]. Каждый понедельник Фейнман читал свою лекцию для второкурсников утром и лекцию по гравитации после ланча. Позднее на неделе следовала вторая лекция для второкурсников и лекция для научных работников в исследовательских лабораториях Хьюджа в Малибу. Кроме педагогической нагрузки и его собственных научных исследований, Фейнман работал в экспертном совете по рассмотрению учебников для Калифорнийского государственного совета по образованию, т.е. был увлечен проблемами преподавания, что поглощало его целиком, как это красочно описано в книге "Вы, конечно, шутите, мистер Фейнман?" [Feyn 85]. Стивен Фраучи, принимавший участие в лекциях по гравитации в качестве молодого ассистента KAЛTEXa, вспоминал позже, что "Фейнман был полностью истощен" к концу 1962-63 академического года.

Курс Фейнмана никогда не был предназначен на то, чтобы быть достаточно полным введением в общую теорию относительности, и некоторые из этих лекций серьезным образом устарели. Большая часть материала в лекциях 7-12 покрывается более систематическим и в значительной степени более детальным изложением в других книгах. Почему же эти лекции должны были бы быть сейчас опубликованы? Существует, по крайней мере, три серьезных аргумента для подобной публикации. Во-первых, еще не было подобного педагогического опыта столь необычного подхода к основаниям общей теории относительности, который впервые был предложен Фейнманом (среди других авторов). Этот подход, представленный в лекциях 3-6, развивает теорию безмассового поля спина 2 (гравитона), взаимодействующего с тензором энергии-импульса вещества, и демонстрирует, что усилия, направленные на то, чтобы сделать теорию самосогласованной, неизбежно приводят к эйнштейновской теории относительности.

(Именно благодаря этому, записи лекций стали хорошо известными в физическом сообществе). Во-вторых, записи лекций содержат увлекательные отступления и отклонения по поводу оснований физики и других вопросов, что делает эти записи лекций поучительными и интересными для чтения. В-третьих, эти записи имеют историческую ценность. В то время, когда Фейнман читал эти лекции, он напряженно размышлял в течении нескольких лет о фундаментальных проблемах гравитации, и представляется полезным иметь записи его размышлений и его точки зрения того времени. Некоторые из его взглядов кажутся нам сейчас, 32 года спустя, весьма проницательными, в то время как другие его гипотезы, естественно, кажутся наивными или неверными. В некоторых случаях его взгляды быстро эволюционировали в процессе чтения этих лекций. Это, в частности, верно для материала лекции 14 о релятивистских звездах, о чем ниже мы поговорим несколько подробнее.

Эти лекции представляют особую ценность для того, чтобы обучить нас точке зрения Фейнмана на гравитацию, но они не являются самым удачным текстом для обучения начинающего студента современной геометрической формулировке общей теории относительности или вычислительному аппарату и приложениям теории. Такие книги, как написанные Волдом [Wald 84], Шутцем [Schu 85], и Мизнером, Торном и Уилером [MTW 73], решают эту педагогическую задачу значительно лучше. Даже догматически негеометрическая точка зрения, которую предпочитал Фейнман, более систематически и полно изложена Вейнбергом [Wein 72]. Но нет другого источника, который бы содержал уникальные размышления Фейнмана и его подход к основаниям данного предмета.

Эти записи лекций могут быть прочитаны на нескольких различных уровнях читателями, имеющими различный уровень начальной подготовки:

• Для того, чтобы понять лекции полностью, читатели должны иметь продвинутый уровень подготовки в области теоретической физики. Фейнман предполагал, что для его аудитории привычны методы квантовой теории поля в такой степени, что эти знания позволяют получить информацию о том, как извлечь фейнмановские правила из действия и как использовать эти правила для того, чтобы вычислить древесные диаграммы. Тем не менее, эти методы теории поля серьезным образом используются только в лекциях 2-4 и 16, и даже в них ключевые идеи могут схвачены без столь высокого уровня подготовки.

Кроме того, другие лекции могут быть прочитаны более или менее независимо от этих лекций.

• Читатели с солидной подготовкой по физике могут найти эти лекции в большой степени понятными для себя, благодаря педагогическому мастерству Фейнмана. Тем не менее, такие читатели должны обладать некоторым эвристическим умением ухватить некоторые более технические детали изложения.

• Для почитателей Фейнмана, которые не имеют достаточного уровня подготовки по физике, эти лекции также содержат много ценного, хотя для того, чтобы извлечь это ценное потребуется значительное ознакомление с техническим материалом, который разбросан среди более земных интуитивных догадок и рассуждений.

Оставшаяся часть этого введения и следующий раздел, написанный Брайаном Хатфилдом, представляют собой краткое изложение лекций и обсуждение того, как они связаны с предшествующими исследованиями и последующим развитием теории. Как и сами лекции, это краткое изложение может быть прочитано на различных уровнях. Для того, чтобы помочь читателям, которые не имеют достаточного уровня подготовки в области теоретической физики, отмечены некоторые особенно технические разделы, которые читатели могут пропустить или только бегло просмотреть. Вывод полевого уравнения Эйнштейна

В период чтения этих лекций по гравитации Фейнман стремился к тому, чтобы проквантовать гравитацию, т.е. создать синтез общей теории относительности и фундаментальных принципов квантовой механики. В целом подход Фейнмана к общей теории относительности сформирован его желанием получить квантовую теорию гравитации настолько непосредственным образом, насколько это возможно. Для этой цели тонкости геометрического подхода кажутся отвлечением от основной темы; в частности, общепринятый геометрический подход к гравитации затемнен разговором об аналогии между гравитацией и электромагнетизмом.

Используя ретроспективный взгляд, мы можем получить классическую электродинамику Максвелла, исходя из того наблюдения, что фотон является безмассовой частицей спина 1.

Вид квантовой теории безмассовой частицы со спином 1, взаимодействующей с заряженной материей, в большой степени ограничивается фундаментальными принципами такими, как Лоренц-инвариантность и сохранение вероятности. Самосогласованная версия квантовой теории - квантовая электродинамика определяется в классическом пределе классическими полевыми уравнениями Максвелла.

Ободренный этой аналогией, Фейнман рассматривает квантовую теорию гравитации просто как другую квантовую теорию поля", такую как квантовая электродинамика. Так, в лекциях 1 - 6 он задает вопрос: можем ли мы найти разумную квантовую теорию поля, описывающую безмассовые кванты со спином 2 (гравитоны), взаимодействующие с веществом в обычном плоском пространстве-времени Минковского? Классический предел такой квантовой теории должен был бы определяться уравнением поля эйнштейновской теории относительности. Поэтому, для того, чтобы убедиться в виде классической теории, Фейнман привлекает внимание к характерные особенности квантовой теории, которые должны лежать в основании теории. Геометрические идеи проникают в обсуждение Фейнмана только через "черный вход" и развиваются первоначально как технические средства для того, чтобы помочь в построении приемлемой теории. Так, например, тензор кривизны (Римана), являющийся узловым пунктом общепринятой формулировки общей теории относительности, вводится Фейнманом первоначально (6.4) только как средство для построения членов в гравитационном действии, удовлетворяющем требуемым свойствам инвариантности. Действительно, только в лекции 9 (разделе 9.3) лекций Фейнман показывает, что кривизна имеет интерпретацию через параллельный перенос касательного вектора по искривленному пространственно-временному многообразию.

Критической особенностью квантовой теории является то, что безмассовый гравитон со спином 2 имеет только два состояния спиральности. Таким образом, классическое гравитационное поле также должно иметь только две динамические степени свободы. Тем не менее, классическое гравитационное поле, которое соответствует частице со спином 2, является симметричным тензором с десятью компонентами. На самом деле, четыре из этих компонент (при i = 1,2,3) являются нединамическими связанными переменными, так что у нас остается только шесть динамических компонент для того, чтобы описать состояния с двумя физическими спиральностями. Из-за того, что есть несоответствие между числом состояний частицы и числом полевых компонентов, следует, что квантовая теория поля и отсюда также и соответствующая классическая теория являются в большой степени теориями со связями.

Для того, чтобы разрешить это несоответствие, необходимо включить в теорию избыточность так, чтобы многие различные классические полевые конфигурации описывали одно и то же физическое состояние. Другими словами, это должна быть калибровочная теория. Для безмассового поля спина 2 может быть показано, что необходимый калибровочный принцип является условием обшей ковариантности, что приводит к эйнштейновской теории.

В лекции 3 Фейнман построил квадратичное действие безмассового поля спина 2, которое линейным образом связано с сохраняющимся тензором энергии-импульса. Он объясняет калибровочную инвариантность результирующего линейного полевого уравнения в разделе 3.7 и дает комментарий в разделе 4.5 о том, что можно сделать вывод о нелинейном самовзаимодействии поля, основываясь на требовании калибровочной инвариантности амплитуд рассеяния. Но Фейнман не доводит эту программу до конца. (Он только замечает, что это довольно трудно было бы сделать.) Вместо этого, он использует довольно отличный от этого подхода метод для того, чтобы получить эйнштейновское нелинейное классическое полевое уравнение, метод, основное внимание в котором сосредоточено на непротиворечивости. Так как линейное полевое уравнение для свободного безмассового поля со спином 2 с необходимостью имеет калибровочную инвариантность (для того, чтобы устранить ненужные состояния спиральности), общие модификации такого полевого уравнения (такие, как модификации, которые возникают тогда, когда поле спина 2 связано с материей) не допускают никаких решений. Новые члены в модифицированном уравнении должны удовлетворять нетривиальному условию непротиворечивости, которое существенным образом является требованием того, что новые члены удовлетворяют калибровочной симметрии. Это условие непротиворечивости оказывается достаточным при указании пути в направлении специфического эйнштейновского множества нелинейных связей и соответствующего нелинейного полевого уравнения.

Более подробно: задача, как она сформулирована в разделе 6.2, состоит в том, чтобы найти функционал действия для поля спина 2 такого, что гравитационное полевое уравнение

согласуется с уравнением движения вещества. Здесь есть тензор энергии-импульса вещества. В лекции 3 Фейнман находит квадратичное выражение для F, которое удовлетворяет согласованному линейному полевому уравнению до тех пор, пока сохраняется тензор энергии-импульса вещества (для случая специальной теории относительности) . Беспокойство возникает тогда, когда поле h взаимодействует с веществом так, что вещество действует как источник уравнение движения вещества модифицируется гравитационными силами и величина не оказывается более нулевой.

Таким образом, полевое уравнение для и уравнение движения вещества оказываются несовместными; эти уравнение не допускают одновременных решений. В этом состоит проблема непротиворечивости (линейной теории).

Используя требования того, что полевое уравнение удовлетворяется тензором совместно с уравнением движения материи, Фейнман сделал вывод о том, что нелинейные поправки более высокого порядка должны быть добавлены к действию F. Требование непротиворечивости может быть облачено в форму принципа инвариантности, которому удовлетворяет действие, (с учетом этого принципа действие есть инвариант при общих координатных преобразованиях). После этого фейнмановский анализ стал довольно общепринятым и привел к заключению о том, что достаточно общее согласованное полевое уравнение, которое включает в себя не более двух производных, есть уравнение Эйнштейна (с космологической постоянной).

Результирующие нелинейные поправки имеют приятную физическую интерпретацию. Без этих поправок гравитация не имеет связи сама с собой. Когда нелинейные поправки включаются в рассмотрение, источник для гравитационного поля (как он рассматривается в плоском пространстве-времени Минковского) есть полный тензор энергии-импульса, включающий вклад, обусловленный собственно гравитационным полем. Другими словами, удовлетворяется (сильный) принцип эквивалентности. Закон сохранения, удовлетворяемый энергией-импульсом вещества, становится эйнштейновским ковариантным законом, который в сущности допускает обмен энергией и импульсом между веществом и гравитацией.

Мы знаем из фейнмановских комментариев, сделанных в 1957 году на конференции в Чапел Хилл [DeWi 57], что уже тогда он работал над вычислениями, описанными в лекциях 2-6. Мюррей Гелл-Манн сообщал [Gell 89], что Фейнман и он обсуждали различные вопросы квантовой гравитации в течении рождественских каникул в 1954 - 55 годах, и что уже тогда Фейнман достиг "значительного прогресса" в этой области.

Требование того, что единственная разумная теория взаимодействующего безмассового поля спина 2 является по существу общей теорией относительности (или хорошо аппроксимируется общей теорией относительности в низкоэнергетическом пределе), довольно часто высказывается и сегодня. (Например, доказывается, что так как теория суперструн содержит безмассовые частицы спина 2, это может быть теория гравитации). Фактически, Фейнман не был самым первым, кто высказал это требование.

Полевое уравнение для свободного безмассового поля спина 2 было выписано Фиртцем и Паули в 1939 году [FiPa 39]. С того времени идея рассмотрения эйнштейновской гравитации, кале теории поля спина 2 в плоском пространстве, изредка встречалась в литературе. Тем не менее, насколько мы знаем, первая опубликованная попытка вывести нелинейные связи в теории Эйнштейна в рамках такого подхода появилась в работе Сурая Гупты в 1954 году [Gupt 54].

Гупта заметил, что действие в теории должно подчиняться нетривиальному условию непротиворечивости, которое удовлетворяется в общей теории относительности. Тем не менее, он не привел никакого детального аргумента в пользу единственности полевого уравнения Эйнштейна.

Грубо говоря, аргумент Гупты состоит в следующем. Мы хотим построить теорию, в которой "источник", связанный с безмассовым полем спина 2, есть тензор энергии-импульса, включающий энергию-импульс самого поля спина 2. Если выбрать источник поля таким образом, что он есть тензор энергии-импульса теории свободного поля (которая квадратична по ), то связь этого источника с тензором приводит к появлению кубического члена в лагранжиане. Из этого кубического члена в лагранжиане может быть выведен соответствующий кубический член в тензоре энергии-импульса, который тогда включается в источник. Этим порождается член четвертого порядка и так далее. Эта итерационная процедура порождает бесконечные ряды, которые могут быть просуммированы для того, чтобы получить полные нелинейные уравнения Эйнштейна. Гупта кратко описал эту процедуру, но на самом деле не довел ее до завершения. Первая полная (и особенно элегантная) версия была опубликована Дезером в 1970 году [Dese 70]. Дезер также заметил, что теория Янга - Миллса может быть выведена, исходя из подобного подхода.

За несколько лет до работы Гупты, Роберт Крайчман, тогда 18-летний студент Массачусетского Технологического Института, также изучал проблемы вывода общей теории относительности как непротиворечивой теории безмассового поля спина 2 в плоском пространстве. Он описал свои результаты в неопубликованной диссертации на степень бакалавра [Krai 47]. Крайчман продолжил исследования по этой проблеме в Институте Перспективных Исследований в 1949 - 1950 годах. Он вспоминает, что хотя он и получил некоторое одобрение от Брайса Де Витта, очень немногие из его коллег поддерживали его усилия. Эта группа определенно включала в себя самого Эйнштейна, который пришел в ужас от такого подхода к гравитации, отвергавшего его собственное геометрическое понимание, полученное им в результате огромной проделанной работы. Крайчман не публиковал никакие из своих результатов до 1955 года [Krai 55, Krai 56], когда он наконец нашел вывод, который его удовлетворил. В отличие от Гупты, Крайчман не предполагал, что гравитация взаимодействует с полным тензором энергии-импульса. Скорее всего он, как и Фейнман, выводил свой результат как следствие непротиворечивости полевых уравнений. Кажется вероятным, что Фейнман совершенно ничего не знал о работах Гупты и Крайчмана.

Мы должны были бы указать на то, что анализ Фейнмана весьма далек от наиболее общего анализа, который можно было бы провести (анализ Фейнмана является существенно менее общим, чем анализ Крайчмана). Фейнман предполагал некоторый частный вид для действия вещества (которое соответствует действию для релятивистской частицы) и далее предполагал строго линейную связь поля вещества спина 2 (которая была бы невозможна для более общего действия для материи).

В частности, отметим, что все физические предсказания теории не меняются, если проводится нелинейное локальное переопределение поля спина 2; мы вольны сделать замену на Фейнман косвенным образом устранил эту свободу для того, чтобы делать подобные переопределения исходя из требования, что взаимодействие с материей должно быть линейно по (Полевые переопределения рассматривались детально Боулваром и Дезером [BoDe 75].) Значительно более общий анализ условия непротиворечивости для полевого уравнения проводился позднее Волдом [Wald 86] и привел его в конце концов к заключениям, аналогичным тем, к которым пришли Крайчман и Фейнман.

Совершенно другой подход к выводу формы гравитационного взаимодействия был разработан Вейнбергом [Wein 64а, Wein 64b]. Сделав весьма разумные предположения об аналитических свойствах амплитуд рассеяния при гравитон-гравитон взаимодействии, Вейнберг показал, что теория взаимодействующей безмассовой частицы со спином 2 может быть лоренц-инвариантной, только если частицы взаимодействуют с материей (включая взаимодействие с самой собой) с некоторой универсальной силой, другими словами, только если удовлетворяется сильный принцип эквивалентности. До известной степени аргументация Вейнберга - наиболее глубокая и мощная, так как свойство того, как гравитон взаимодействует с тензором энергии-импульса, выводится из других более общих принципов. Как только принцип эквивалентности установлен, можно продолжить построение эйнштейновской теории [Wein 72].

Наконец, существует вопрос о том, как должны быть исключены члены в лагранжиане, включающие в себя производные выше второго порядка от тензора h. В лекциях Фейнмана этому вопросу уделено очень мало внимания, за исключением замечания в разделе 6.2, что включение членов с двумя производными (или менее) приведет к "наипростейшей" теории. (См. также в разделе 10.3 связанное с этим замечание в слегка другом контексте.) Фейнман, по-видимому, не предвосхитил современную точку зрения [Wein 79], что члены с более высокими производными обязательно присутствуют в лагранжиане, но эти члены оказывают пренебрежимо малое влияние на предсказания теории, когда кривизна пространства-времени мала. Философия, лежащая в основе этой точки зрения, состоит в том, что лагранжиан эйнштейновсхой теории является просто "эффективным лагранжианом", который описывает низко-энергетическую феноменологию более фундаментальной теории - теории, которая могла бы включать в себя новые степени свободы (суперструны?) на масштабах длины порядка планковской длины . В эффективном лагранжиане допускаются все члены, согласованные с общими принципами, включая члены с произвольным числом производных. Тем не менее, основываясь на соображениях размерности, член с более высокими производными имеет коэффициент, пропорциональный более высокой степени .

Таким образом, в процессе, включающем в себя характерный радиус кривизны порядка L, члены в лагранжиане с четырьмя производными дают эффекты, которые подавлены по сравнению с эффектами, вызываемыми членами со второй производной, подавлены множителем порядка который чрезвычайно мал для любых разумных процессов. В таком случае мы можем понять, почему усеченная теория, включающая только члены со второй производной и ниже, была бы в замечательном согласии с экспериментом.

С другой стороны, то же самое рассуждение также приводит к ожиданию появления "космологического" члена (в котором нет производных) с коэффициентом порядка 1 в единицах . То, что космологическая постоянная является фактически необычайно малой сравнительно с такими наивными ожиданиями, остается одной из великих неразрешенных тайн физики гравитации [Wein 89].