7.7. Число величин, инвариантных под действием преобразований общего вида

В четырехмерной геометрии имеются двадцать коэффициентов, которые описывают кривизну способом, аналогичным тому, которым одна величина описывает внутреннюю кривизну двумерной поверхности. Эти двадцать величин определяют физически значимые свойства тензора то же, что мы должны сделать, так это упростить тензор разумным выбором координат, таким же способом, каким стало возможным определить геометрию двух измерений одной функцией в соотношении (7.6.2).

Мы видели, что вообще говоря, мы не можем устранить гравитационные поля суперпозицией ускорений, за исключением одной точки. Так как кривизна может быть задана точным определением того, что происходит в инфинитезимальной области вокруг заданной точки, целесообразно изучить соответствующим образом в какой степени может быть упрощен тензор . По аналогии с двумерным случаем мы можем полагать, что возможно выбрать координаты (называемые нормальными координатами Римана) таким образом, что пространство вокруг этой точки - плоское, за исключением членов второго порядка малости от расстояния до этой точки.

Другими словами, кривая поверхность отрывается от плоскости, которая является касательной к этой поверхности, причем отклонение поверхности от плоскости характеризуется величиной, которая квадратична от значений координат, измеряемых от точки касания; мы ожидаем, что аналогичная ситуация имеет место в четырехмерном пространстве.

Давайте подсчитаем, сколько величин мы можем точно определить при преобразованиях и насколько мы можем упростить если мы делаем разложение в ряд функции в окрестности некоторой точки Пусть любая точка в пространстве есть тогда имеется следующее разложение в ряд Тейлора функции в окрестности точки

Мы должны вычислить метрический тензор и его производные согласно правилу, выраженному соотношением (7.4.8), это приводит к

(7.7.2)

Мы видим, что для упрощения мы рассматриваем только разложение до второго порядка малости, мы должны выбрать наши преобразования таким образом, чтобы частные производные, появляющиеся в соотношениях (7.7.2), имели определенные значения. Мы можем точно определить следующие величины в нашем преобразовании

(Заметим, что порядок производных не имеет значения.) Другая сторона медали состоит в том, что количество величин и производных метрического тензора является следующим:

Сначала мы можем попытаться сделать так, чтобы выполнялось равенство . Это соотношение включает в себя только первые производные . У нас есть 10 условий, которым необходимо удовлетворить с помощью 16 свободных параметров. Мы можем легко удовлетворить этим условиям, и у нас останется еще свободными 6 степеней свободы. Эти шесть параметров являются параметрами специальной теории относительности, преобразований Лоренца и вращений (вектор скорости, ось вращения и угол), которые могут определять преобразования, оставляющие неизменным. Далее мы можем сделать так, чтобы все 40 производных в точности обращались в нуль, используя сорок величин

Производная появляется в уравнении движения для минимального действия . То, что эти производные могут в некоторой точке обращаться в нуль, означает, что все гравитационные силы могут быть устранены в любой выделенной точке пространства и в некоторый момент времени выбором подходящих ускорений.

Получившийся в конце концов результат состоит в том, что остаются двадцать линейных комбинаций вторых производных типа которые не могут быть устранены таким преобразованием. Это те величины, которые должны описывать детальное поведение приливных сил. В следующей лекции мы приступим к построению этих двадцати величин через компоненты тензора ди, заданные в какой бы то ни было системе координат, которую мы выбрали для исходного анализа.