Лекция 14

14.1. Проблема сверхзвезд в общей теории относительности

В этой лекции я хочу обсудить решение проблемы сверхзвезд, в которых имеется вещество с массой примерно солнечных масс, что обсуждали в своей работе Фаулер и Уилер Мы берем модель, которая очень проста, но может, тем не менее, обладать огромным множеством атрибутов реальных процессов. После того, как мы поймем, как обходиться с решением такой простой задачи, мы можем позаботиться об усовершенствованиях в модели. Начальный пункт нашего анализа - это дифференциальное уравнение общей теории относительности, уравнение Эйнштейна

(14.1.1)

Правая часть этого уравнения есть "геометрическая" часть, здесь мы подставляем выражения для кривизны через компоненты метрического тензора. Если мы предполагаем статические, сферически симметричные решения, тогда элементы метрического тензора в точности определяются функциями такими, что

(14.1.2)

Левая часть уравнения (14.1.1) есть физическая часть, которая включает в себя тензор энергии-импульса. Если мы предполагаем, что вещество газообразное, этот тензор включает в себя только давление и плотность в любой точке. При обозначении координат индексами в порядке (1,2,3,4) и производных по отношению к координате штрихами, уравнение Эйнштейна сводится к следующей системе уравнений, выраженных на языке функций и давления, и плотности:

(14.1.3а)

Модель, которую мы будем использовать, будет задаваться теми выражениями, которые мы подставим для давления и плотности . Эти величины представляют давление и плотность, которые могли бы быть действительно измерены наблюдателем, стоящим в какой-либо выделенной точке. Мы не получим правильных решений до тех пор, пока мы не проследим за тем, чтобы наш физический тензор удовлетворял законам сохранения.

Для нашего случая сферической симметрии только радиальная компонента дивергенции тензора имеет значение; мы должны иметь

что по сути дела утверждает то, что давления в радиальном направлении уравновешены, как это и должно быть в нашем статическом решении. Это уравнение (равенства нулю дивергенции) служит тому, чтобы исключить Далее мы получаем соотношение для того, чтобы исключить Сначала мы перепишем через новую функцию как показано в следующих соотношениях

Если мы положим

(14.1.56)

тогда

(14.1.5в)

Оказывается, что функция пропорциональна массе звезды, так как это есть интеграл плотности . Тем не менее, интерпретация не является настолько прямой, поскольку имеются особенности координат, через которые измеряется функция . Мы обсудим это ниже. Подставляя выражения для и и в уравнение (14.1.3а), получаем

Вместе с дифференциальным уравнением для и с уравнением состояния, связывающим величины , мы имеем систему связанных уравнений, которые могут быть в принципе разрешены для функций с подходящими граничными условиями они могли бы описывать сверхзвезду в приближении статического решения.

Какого рода уравнение состояния мы возьмем? Масса, образованная из солнечных масс, является очень сильно разреженной, будучи размазанной по области с галактическими размерами; даже при температуре несколько единиц градусов Кельвина, газовое давление является довольно низким. Тем не менее, оказывается, что плотность излучения, которая пропорционально дает существенную часть энергии массы покоя нуклонной плотности. Мы получаем осмысленное приближение, пренебрегая газовым давлением по сравнению с давлением излучения; в том же самом духе, мы пренебрегаем небольшим увеличением массы нуклона, вызываемым их скоростями.

В единицах энергии массы покоя нуклона мы имеем тогда, если s - плотность нуклонов, что

(14.1.7а)

Эти уравнения связывают , но мы все еще нуждаемся в том, чтобы в точности определить для того, чтобы иметь уравнение состояния. Мы делаем адиабатическое приближение, которое делает каждый, пытающийся иметь дело с такими проблемами, такое, что распределение температуры является тем же самым, как будто это есть величина, которая падает вместе с первоначально однородным распределением без всякого перемешивания или переноса энергии между различными областями. Если мы сжимаем вещество внутри ящика, все частоты вырастают на один и тот же множитель, обратно пропорциональный длине ящика. Так как энтропия является постоянной для адиабатического процесса, то температура должна увеличиваться таким же образом. Таким образом, плотность нуклонов пропорциональна кубу температуры, и плотность энергии излучения пропорциональна На языке температуры, измеренной в единицах 109 градусов, и энергии, в единицах массы покоя нуклона, имеем

(14.1.8)

Величина где есть масса нуклона, есть константа, имеющая значение 8.4 г/см3; - параметр, связанный с не зависящей от радиуса энтропией на барион соотношением (энтропия на барион) Эти результаты могут быть выведены также из общего условия для адиабатического сжатия, которое может быть выражено как

Эти соотношения между давлением, плотностью и адиабатическими процессами получены в связи со звездными задачами в классическом случае. Звезды, в которых и давление, и плотность следуют степенным зависимостям от температуры всюду, известны как политропы.

На языке новой температуры и новых единиц таких, что система уравнений принимает следующий вид:

(14.1.10а)

Какие же условия мы выбираем в качестве граничных? Мы предполагаем определенную температуру в центре и то, что поверхность является много холоднее, по существу температура равна нулю по сравнению с температурой в центре звезды. Входные величины для нахождения решений попросту являются следующими:

(14.1.11)

Эта задача сформулирована таким способом, что численное решение такой задачи получается очень легко. Мы начинаем решение от центра, где мы знаем, что мы вычисляем из соотношения (14.1.10в), и вычисляем из соотношения и затем прыгаем вперед и назад между этими уравнениями для того, чтобы получить функции Так как производная будет всегда отрицательна при положительном t, то в некоторой точке обращается в нуль. Мы останавливаем решение в этой точке и предполагаем, что более физическое решение изменило бы только наиболее внешние слои звезды для того, чтобы сделать его убывающим более гладко по направлению к нулевой плотности, без изменения решения во внутренней части области какого угодно большого размера. Таким образом, предполагается, что радиус - есть радиус звезды, а величина - полная масса звезды.