8.5. Кривизна как величина, относящаяся к касательному пространству

Мы можем рассмотреть данный вопрос геометрически, как Эйнштейн, и обратиться к кривизне и таким понятиям, которые выражаются на языке предельного перехода для величины радиуса и длины окружности. Только для того, чтобы показать, что подобный подход не является слишком сложным, мы используем его. Теперь, когда мы осознаем, что мы делаем, мы можем сделать более общие координатные преобразования. Мы говорили о том, каково было число производных. У нас была возможность сказать, что мы можем положить

(8.5.1)

путем соответствующего выбора шестнадцати первых производных . Мы предполагаем также, что мы можем выбрать сорок вторых производных таким образом, что все первые производные равны нулю. Тогда имеется восемьдесят выбранных третьих производных и сотня вторых производных величины . Есть двадцать линейных комбинаций этих вторых производных, причем эти комбинации могут иметь геометрическое определение. Они не могут быть устранены преобразованием координат. То, что мы будем искать - это выражение для двадцати таких величин на языке исходных величин Мы делаем данную процедуру в три шага, возвращаясь назад, так сказать. Сначала мы предполагаем, что выбрали первые и вторые производные (в выбранной точке путем преобразования к римановым нормальным координатам) таким образом, что и находим выражение для двадцати величин.

Рис. 8.2.

Затем мы будем беспокоиться о том, как мы можем добиться выполнения этих условий и так выбрать новые координаты, исходя из произвольных начальных координат, чтобы получить эти двадцать величин через исходные величины .

Сначала мы обсудим геометрически определяемые величины в терминах координат в касательном пространстве в точке. То, что мы делаем в пространстве с четырьмя измерениями, аналогично следующей ситуации в двумерном пространстве. Искривленное пространство можно рассматривать как поверхность и сравнить геометрию поверхности в данной точке с геометрией, рассматриваемой с касательной плоскости, как показано на рис. 8.2. Исходные координаты на искривленном пространстве вообще говоря неортогональны и не являются соответствующим образом ориентированными для того, чтобы допустить простейшее описание геометрии на языке инварианта . Первый шаг состоит в том, чтобы определить эту внутреннюю кривизну на языке исходной геометрии.

Только вторые производные начинают описывать в данной точке отклонение искривленного пространства от плоского. Величины, характеризующие кривизну пространства, являются в точности мерой рассогласования между поверхностью и касательной плоскостью. Эти величины дают описание самого существенного характера пространства в заданной точке. Так как мы включили в рассмотрение только первые, вторые и третьи производные координат, то мы имеем достаточно общее преобразование в следующем виде:

(8.5.2)

Наша задача состоит в том, чтобы выбрать двадцать существенных комбинаций. Для первых производных мы имеем следующие выражения:

(8.5.3)

В этом частном касательном пространстве метрические тензоры могут быть записаны в достаточно общем виде как

(8.5.4)

Верхний индекс означает то, что рассматриваемая величина берется в точке касания . Мы получаем соответствующие инвариантные комбинации, рассматривая то, что мы имеем две произвольные системы координат в касательном пространстве, и требуем, что одни и те же формулы должны выполняться в обоих случаях. Так как эти пространства - касательные, то производные координат могут отличаться только квадратичными членами, так что

Тогда необходимо только подставить одно преобразование в другое. Подставляя закон преобразования используя соотношения (8.5.3) для производных, находим

(8.5.6)

Для вторых производных величин имеем следующие соотношения

где

Теперь, когда мы имеем эти соотношения, мы хотим получить линейные комбинации вторых производных компонентов метрики, которые не имели бы величин . Мы используем тот факт, что величины полностью симметричны по их трем последним индексам, в то время как симметричны только по индексам от. Переставим индексы и, вычитая соответствующие выражения, получим

(8.5.8)

Индексы входят абсолютно симметрично в правую часть этого соотношения, но это утверждение не обязательно для левой части.

Следовательно, при антисимметрировании по индексам мы получаем следующее соотношение

(8.5.9)

величину, которая равна самой себе в штрихованной системе координат. Таким образом, имеется двадцать линейных комбинаций, которые мы искали. Эта величина не является тензором; она не является достаточно общей; она определяется только в месте, в котором обращаются в нуль результирующие поля. Эти линейные комбинации являются несократимыми частями гравитационного тензора, теми, которые не могут быть устранены преобразованием системы координат. Они представляют чисто приливные силы. Таким образом, теперь мы имеем определенный рецепт для нахождения кривизны. Сначала найти преобразование (к римановым нормальным координатам), которое связывает величины ди с величинами причем первые производные компонент равны нулю. Тогда выраженные через преобразованные компоненты величины, определяющие кривизну, задаются соотношениями (8.5.9). Эти соотношения остаются теми же самыми в любой координатной системе. Оставшаяся задача состоит в том, чтобы выразить через исходные произвольные координаты и исходные компоненты .