6.4. Лагранжиан теории, справедливой во всех порядках

Инвариант полученный в предыдущем разделе, есть на самом деле решение дифференциального функционального уравнения (6.2.3), но это не есть то решение, которое необходимо для нашей теории, так как это решение не включает в себя производные. В данном разделе мы будем строить решение, необходимое для нашей теории, аналогичным методом. Успех этих манипуляций основан на нахождении точной дивергенции, которая может быть интегрирована по всему пространству.

Исходная точка наших рассуждений есть вновь уравнение (6.3.5), в которое включены вектор и его первые производные. Используемое нами правило есть следующее: мы надеемся найти комбинации и их производные, причем эти комбинации не включают в себя С (или, по-крайней мере, полный дифференциал от этой величины), когда они преобразуются. Мы имеем в уравнении (6.3.5) первые производные ?. Если мы вычисляем то появляются вторые производные, такие как и т.п. Выглядит это так, как будто сложность даже увеличилась. Но если производная самого высокого порядка есть и этот порядок появляется только в одном отдельном члене, мы можем исключить этот член путем вычитания члена с переставленными индексами. (На самом деле, в нашем случае мы не будем делать этого, выражение для само по себе автоматически симметрично, но мы делаем аналогичную манипуляцию с более высокими производными.) Тогда сначала образуем выражение , которое дает вторые производные вида но имеется две таких производных, .

Мы попытаемся преобразовать их, комбинируя с другими производными, такими как . Получается, что мы можем избавиться от двух членов, но появляется равное число новых членов, так что никакого упрощения не достигается. Но когда мы рассмотрим третье возможное упорядочение индексов , мы получаем путем сложений и вычитаний новое соотношение, в котором два члена могут добавляться, потому что они являются такими же. Одна трудность состоит в том, что так как мы вычисляем производные произведений, число членов стремительно растет, например

но когда все операции сложения и вычитания, жонглирования индексами проведены, выполнена симметризация, мы находим

(6.4.2)

где появляется только одна вторая производная Теперь мы должны избавиться от компонент метрического тензора с нижними индексами, умножая на обратную матрицу. Сначала введем новое обозначение, которое упростит преобразования. Мы положим

(6.4.3)

Если мы умножаем соотношение (6.4.2) на для того, чтобы отделить оставшуюся вторую производную, то соотношение принимает вид, где используются новые символы (называемые коэффициентами голономной связности или символами Кристоффеля)

(6.4.4)

Это соотношение автоматически симметрично по Для того, чтобы продвинуться дальше в наших рассуждениях, продифференцируем еще раз. Если мы дифференцируем это соотношение по новому индексу и вычитаем соответствующее уравнение, имеющее переставленные индексы , то только следующие члены остаются не сокращенными при этом вычитании

- минус члены, где индексы переставлены.

Теперь трюк заключается в том, чтобы избавиться от двух вторых производных. Они умножаются на индексы Кристоффеля. Но в соотношении (6.4.4) мы имеем выражение, которое дает как раз . Мы будем использовать это выражение для того, чтобы заместить члены на те, которые стоят в соотношении (6.4.5). Это может быть выполнено путем вычисления произведения двух соотношений, таких как (6.4.4); мы видим, что индексы у символов Кристоффеля Г одного члена такие же, как и индексы у в другом члене; так что взяв произведения двух соотношений (6.4.4), одно из которых берется со множеством индексов другое со множеством , переставляя и складывая с соотношением (6.4.5), вторые производные сокращаются.

Введем новую величину определенную следующим образом

(6.4.6)

Заметим, что этот тензор явно антисимметричен по индексам . Используя это обозначение, получаем наконец следующее соотношение

(6.4.7)

То, что мы должны теперь делать, это обращаться с этим уравнением так же, как мы обращались с уравнением (6.3.5), которое имеет ту же самую форму, исключая то, что тензор в последнем соотношении предпочтительнее включать тензор а не . Процедура, полностью аналогичная той, которая была рассмотрена ранее, приводит к ответу для инвариантной величины

(6.4.8)

Эта величина, как мы увидим ниже, есть часть действия в теории, справедливой во всех порядках.