Лекция 6

6.1. Билинейные члены тензора энергии-импульса

Наша нынешняя теория линейна в том смысле, что мы написали уравнение относительно гравитационного поля h, связывающего его с тензором давления

(6.1.1)

Но мы определили выразив его только через распределение материи, как будто на материю не действует гравитация, как будто энергия гравитационного поля сама по себе не является источником полей. Эффекты, связанные с влиянием гравитации на материю, которые мы хотели бы включить в рассмотрение, могут быть проиллюстрированы рассмотрением того, что может произойти, когда мы соединяем массы объектов 1 и 2 вместе в присутствии третьего объекта. Часть работы, которая произведена, может пойти на нагревание третьего объекта, так что энергия не сохраняется при рассмотрении только масс объектов 1 и 2 и полей, которые они порождают. Таким образом, энергия не сохранялась бы, если бы мы рассматривали только подсистемы; ящики, показанные штриховыми линиями на рис. 6.1, не имели бы одинаковый вес. Нелинейный эффект, обусловленный влиянием энергии поля, является более знакомым; мы вычислили поля, обусловленные распределением массы, как первое приближение; следующее приближение состоит в том, чтобы включить поля первого порядка как источники, и так мы приходим к самосогласованному решению.

Мы построим новый тензор давления из нашего старого тензора добавлением члена, который будет выводим из той части лагранжиана, которой пренебрегали ранее, и который обозначим путем вариации

и надеемся, что эти трудности будут устранены, по крайней мере, в более высоких порядках по .

Так как мы пытаемся построить Для того, чтобы устранить тот недостаток тензора энергии-импульса связанный с сохранением энергии мы получаем намек на структуру вычисляя дивергенцию . Дивергенция взаимно уничтожила бы ненулевую часть этой дивергенции по крайней мере, в первом ненулевом порядке.

Рис. 6.1.

Для того, чтобы вычислить эту дивергенцию, мы сначала перепишем тензор для движущейся частицы в новой форме, которая выглядит сначала непривычной, но с которой проще проводить преобразования. На языке интеграла по скалярному параметру, который также может быть собственным временем s (мы обозначаем точками производные по собственному времени s), получаем следующее выражение для этого тензора

(6.1.3)

То, что это выражение для тензора эквивалентно тому, которое было использовано ранее, может быть проверено сравнением соответствующих членов действия

(6.1.4)

Существует простой физический путь для интерпретации смысла - функции в соотношении (6.1.3); в этом выражении попросту утверждается то, что нет энергии взаимодействия, за исключением того места, где на самом деле находится частица. Возможно проще понять, насколько удачно подобраны эти выражения, переписывая обычную электродинамику на том же самом языке; член в лагранжиане, описывающий взаимодействие, есть объемный интеграл от а связывается со скоростью частицы следующим образом:

(6.1.5)

Параллелизм с нашими гравитационно-полевыми выражениями (6.1.3) и (6.1.4) очевиден.

Вычислим дивергенцию из соотношения (6.1.3). Сначала проверим, что - функция симметрична по переменным , так что производная по переменной может быть заменена (со знаком ) производной по переменной .

Тогда мы будем использовать следующее тождество

для того, чтобы получить выражение для дивергенции тензора

(6.1.7)

Мы видим, что эта дивергенция есть плотность ускорения. Здесь мы будем предполагать, что мы уже правильно включили в наш лагранжиан все взаимодействия, отличные от гравитации, так что ускорение представляет влияние гравитации, задаваемое уравнением движения

(6.1.8)

Нижний индекс z на скобке напоминает нам, к какой переменной относятся индексы. Теперь умножим дивергенцию, полученную в соотношении (6.1.7), на и заменим на . Заметим, что из-за наличия ( - функции величина приводит к тому же эффекту, что и . Это означает, что знак скобки может быть вынесен за знак интеграла, приводя нас к выражению, в которое включена только дивергенция и исходный тензор

(6.1.9)

Это точное уравнение, которому должен удовлетворять тензор . В настоящем время мы используем его только в первом порядке малости по h. Мы можем разделить тензор на два слагаемых и получить уравнение, которое говорит нам, что дивергенция начинается с линейного члена по константе связи А:

(6.1.10)

так как знак "скобка" включает в себя производные, которые делают нулевой порядок тензора не играющим никакой роли.

Когда мы сравниваем это соотношение с требованием, что новый тензор должен иметь нулевую дивергенцию,

(6.1.11)

И если мы предполагаем, что само выражение для - билинейно по полям, мы видим, что дивергенция , должна иметь следующее выражение:

(6.1.12)

Знание дивергенции не определяет для нас . У нас есть дополнительное требование, используя которое мы надеемся вывести из вариации по отношению к согласно соотношению (6.1.2). Если мы возьмем как сумму по всем возможным независимым произведениям, включающим в себя всевозможные трилинейные произведения полевых компонент и два независимых индекса, по которым берутся производные, то эти два требования определяют величину однозначно. Мы не будем проводить здесь определение 18 констант, но отметим, что это результат больших и трудоемких алгебраических вычислений

(6.1.13)

Теперь для нас оказывается возможным, используя метод малых возмущений, вычислить все эффекты, которые рассматривались ранее. Для случая движения планет включение выражения для в интеграл от лагранжиана приводит к следующим выражениям которые должны быть использованы для вычислений орбит:

(6.1.14)

Эти поправки приводят к полному согласию нашей теории с наблюдениями по прецессии перигелия Меркурия, так что последнее оставшееся расхождение между теорией и наблюдениями исчезает.