Лекция 16

16.1. Связь между полями вещества и гравитацией

В лекции 10 мы выписали члены действия, соответствующие распространению свободных частиц и полей. Все, что не вошло ранее в полное действие, может быть рассмотрено как взаимодействие между полями, и мы можем приступить к вычислению различных процессов путем использования теории возмущений. В этом случае нет необходимости в том, чтобы оправдываться в использовании возмущений, так как гравитация намного слабее других полей, для которых кажется, что теория возмущений дает предельно точные предсказания. Известные части общего действия являются следующими:

(16.1.1)

Первое приближение, которое мы сделаем, состоит в том, что мы положим коэффициент а равным нулю. Если оставить такой член в действии, то обычно ухудшается ситуация, связанная со многими проблемами расходимости, с которыми мы столкнемся позже, и в этом случае увеличивается объем вычислений. Поскольку любой выбор этого коэффициента может быть произвольным в нынешнем состоянии искусства эксперимента, мы выбираем значение, которое упрощает вычисления наиболее удобным для нас образом. Второй шаг состоит в том, чтобы вытащить член, представляющий пропагатор этих полей, путем введения разложения

(16.1.2)

После того, как мы записали действие на языке полей и скалярного материального поля, мы получаем следующее соотношение:

где

Вариации функции I по отношению к полям или представляют члены источника в дифференциальных уравнениях полей.

Эти уравнения могут быть записаны в следующем виде в пространственном и импульсном представлениях:

Заметим, что SM есть та величина, которую мы называли в лекции 6 (см. соотношение (6.1.2)). Что мы должны делать дальше? Из-за тщательного построения первоначального действия как инвариантного интеграла может быть показано, что обыкновенная дивергенция тензора источника тождественно равна нулю. В импульсном представлении

(16.1.5)

Тензор источника содержит в себе и источники материи, и источники гравитации. Из-за свободы, которую мы имеем в выборе калибровки, мы можем сделать тензор с чертой бездивергентным и, таким образом, получить решение

(16.1.6)

Тензор, стоящий справа, есть не просто тензор неизвестного источника: теперь он хорошо определен на языке первоначального действия (16.1.1) и разложения (16.1.2), так что уравнения являются совместными и энергия сохраняется. Раз у нас есть разложение по степеням константы связи , мы можем, используя обычные правила теории возмущения, приступить к вычислению всех диаграмм каждого заданного порядка . Ключевыми разложениями являются разложение и разложение Первое легко может быть вьшисано по аналогии с разложением когда есть малая величина. Мы имеем

(16.1.7)

где необходимо помнить правило суммирования для плоского пространства-времени, как в соотношении (4.1.6). Выражение для разложения может быть вычислено посредством манипуляций, описанных в лекции 6. Используя соотношение (6.3.11) при

Рис. 16.1.

Мы имеем

(16.1.8)

Подставляя эти выражения для и для в действие, мы получаем явные выражения для связи материи и гравитации; результат для второго члена соотношения (16.1.1) есть, например, следующий:

(16.1.9)

Члены самого наиболее низкого порядка включают в себя взаимодействие двух полей и одного , что соответствует вершине, показанной на рис. 16.1(a). В каждой вершине мы требуем, чтобы импульсы сохранялись. Это правило происходит от объемного интегрирования в действии: нет вклада от члена, полная фаза которого не равна нулю. Запишем решение типа плоской волны следующим образом:

(16.1.10)

на языке тензора поляризации еамплитуда в вершине первого порядка

(16.1.11)

Рис. 16.2.

Любая диаграмма, которая включает в себя только такие вершины, теперь могла бы быть вычислена путем простой подстановки в соответствующие амплитуды в каждой вершине и пропагаторы частиц и гравитонов между вершинами в точности так же, как и в электродинамике.

Давайте посмотрим на следующий порядок. Члены, показанные в (16.1.9), включают в себя произведения двух h и так что две прямых и две волнистых линии сходятся вместе в некоторой точке, как показано на рис. 16.1 (б). Имеются также члены, возникающие от разложения первого члена в соотношении (16.1.1), включающего в себя произведения трех , соответствующие диаграммам, в которых три волнистых линии сходятся в точке, как показано на рис. 16.1 (в). Обилие неявных сумм по трем индексам приводит к членам, которые очень и очень громоздки, когда они записаны явным образом. Например, один из членов, в котором три волнистых кривых сходятся вместе, есть когда мы переводим это на язык импульсов и компонент поляризации, мы получаем члены, соответствующие всем перестановкам трех гравитонов, например,

(16.1.12)

Эта сложность сопровождает одиночную вершину, которая всегда соответствует одной части амплитуды; когда мы соединяем эти выражения, как, например, при вычислении диаграммы, подобной показанной на рис. 16.2 (а), мы можем получить ни много ни мало как 108 членов.