3.6. Уравнения гравитационного поля

Вывод уравнений начнем с выписывания всех возможных произведений нашего полевого тензора . На каждом шагу имеют место значительные упрощения, если мы используем симметрию тензора при комбинации различных членов.

Если два тензорных индекса отличны от индекса производной, мы имеем два различных произведения

1. .

Если имеются два индекса, которые равны, мы можем иметь три возможных произведения

3. .

Не все пять произведений необходимо рассматривать, произведение п. 2 может быть опущено, поскольку оно может быть преобразовано в произведение п. 3 интегрированием по частям. Таким образом, предполагаем, что лагранжиан имеет следующий вид

Теперь мы вариируем эту сумму четырех произведений по отношению к тензору для того, чтобы получить дифференциальное уравнение, связывающее полевые производные с тензором источника . Таким образом, приходим к следующему результату (необходимо помнить, что симметричен по индексам так что симметричная часть его коэффициентов должна быть равна нулю)

(3.6.2)

Мы берем производную каждого из этих членов по отношению к индексу тогда требование, что дивергенция левой части должна быть равна нулю, приводит к следующему уравнению

(3.6.3)

Теперь объединяем члены с одним и тем же множителем и берем значение соответствующего коэффициента равным нулю; получаем следующие соотношения, которые включают в себя перестановку и смену индексов:

(3.6.4)

Если мы выбираем масштаб для наших результатов такой, что мы получаем

(3.6.5)

Предположительно, теперь мы получили правильный лагранжиан для гравитационного поля. Как следствие из этого лагранжиана мы получим в конце концов полевое уравнение.