6.3. Построение инвариантов по отношению к инфинитезимальным преобразованиям

Для того, чтобы решить задачу построения решений, удовлетворяющих уравнению (6.2.3), мы преобразуем это уравнение в некоторое эквивалентное утверждение о свойствах функционала F. Вначале заметим, что уравнение (6.2.3) есть векторное уравнение. Если мы возьмем скалярное произведение этого уравнения с произвольным вектором и проинтегрируем по всему пространству, то мы получим уравнение, которое выглядит несколько иначе

Если функционал F удовлетворяет уравнению (6.3.1) для произвольного вектора тогда этот функционал удовлетворяет уравнению (6.2.3). Теперь мы можем проинтегрировать по частям первый член в подынтегральном выражении, так что мы избавляемся от градиента по отношению к v.

Мы получаем, что

(6.3.2)

Мы поместили черту под дифференциалом для того, чтобы он напоминал нам, что мы должны взять усреднение этого интеграла, и в соответствующем интеграле, имеющем индексы , происходит чередование индексов, а так как тензор - симметричен, то имеющее смысл математическое тождество получается только в том случае, если скобка также симметрична по индексам а и v. Мы можем проинтерпретировать это уравнение (6.3.2) другим способом. Мы замечаем, что если мы делаем замену в первом порядке в тензоре h, скажем, пусть меняется на то величина функционала F меняется следующим образом:

(6.3.3)

Следовательно, наше уравнение (6.3.2) говорит нам, что для инфинитезимального и в форме, появляющейся в уравнении (6.3.2), величина F остается неизменным.

Пусть тензорное поле h меняется инфинитезимальным преобразованием на тензор . Выражаем h согласно правилу, подразумеваемому в соотношении (6.3.2), как показано в следующем соотношении (мы должны помнить, что надо симметризовать выражение по индексам и использовать явное выражение для ):

(6.3.4)

Положим для удобства запишем уравнение через вместо следующим образом:

(6.3.5)

Тогда наша задача становится следующей: найти выражение для функционала F от метрики такое, что при инфинитезимальных преобразованиях, описываемых соотношениями (6.3.5), которые меняют тензор на тензор , функционал F не меняется в первом порядке малости по СА при любом . Методы для решения уравнений, аналогичных исследуемому нами, были разработаны математиками, работающими в дифференциальной геометрии (фактически очень близкая задача решается в дифференциальной геометрии), итак мы будем предполагать, как и хорошо образованные венерианские физики, что книги, дающие нам намеки на то, как приступить к решению, являются доступными.

Фактически, можно проверить, что преобразование, определяемое соотношением (6.3.5), есть преобразование тензорного поля при инфинитезимальном преобразовании координат . Однако, мы будем продолжать играть в нашу игру и попытаемся вывести наши результаты как венериане, не осознающие никакой геометрической интерпретации. Конечно, мы будем возвращаться назад и обсуждать геометрическую точку зрения при обсуждении точки зрения Эйнштейна.

Теперь приступим к нахождению желаемого инвариантного выражения для F. Для того, чтобы найти это выражение, полезно определить матрицу, которая обратна используя верхние индексы вместо нижних, что оказывается в данном случае предпочтительным, т.е.

(6.3.6)

где теперь - правильный символ Кронекера, который равен 1, если и нулю, если .

Обратная к матрице , если В - инфинитезимальна, задается следующим выражением:

Так как вектор - инфинитезимален, мы можем легко построить тензор, обратный к тензору согласно правилу, выраженному в соотношении (6.3.7)

(6.3.8)

Теперь исследуем кратко один инвариант, который может быть легко найден, для того, чтобы понять используемые методы, а в следующем разделе построим более сложный инвариант, который приведет нас к нашей полной теории.

Рассмотрим, как меняется определитель матрицы, если мы слегка меняем матрицу. Мы используем следующее выражение для определителя:

(6.3.9)

Мы не будем останавливаться здесь для обсуждения доказательства такого равенства;

Однако для того, чтобы показать, что оно выглядит разумным, мы могли бы заметить, что это утверждение становится тривиальным справедливым утверждением в случае, если матрица записана в диагональном виде:

(6.3.10)

Теперь мы применяем правило, выраженное соотношением (6.3.9), для вычисления определителя матрицы , где В - инфинитезимальная матрица. Нам необходимо вычислить матричный логарифм матрицы ; соответствующее разложение имеет вид

Теперь мы используем это правило для того, чтобы вычислить определитель и взять логарифм результирующего выражения

(6.3.12)

Произведение матриц в последнем члене может быть связано с определителем следующим образом:

(6.3.13)

Наше достижение состоит в том, что мы получили новое соотношение, в которое включены и его градиенты совместно с числами, но не матрицами. Мы положим и перепишем получившееся в результате уравнение как

(6.3.14)

Если бы это выражение было бы полной производной, мы могли бы проинтегрировать по всему пространству для того, чтобы получить наш инвариант. Вид последних двух членов наводит на мысль, что есть интегрирующий множитель. Следовательно, мы ищем инвариант вида регулируя соответствующим образом параметр . Так как вектор - инфинитезимален, то разложение, в котором сохранены только первые члены, дает

(6.3.15)

Второй член этого выражения имеет вид, который может быть преобразован в полную производную; мы замечаем, что

(6.3.16)

что есть такая же величина, кале и второй член выражения для (6.3.15) при Когда мы интегрируем выражение (6.3.15) по всему пространству, то при интеграл от второго члена обращается в нуль, и мы приходим к равенству

(6.3.17)

Инвариантное решение, выраженное через матрицу есть, следовательно,

(6.3.18)