5.2. Замедление времени в гравитационном поле

На настоящий момент у нас имеется теория, которая, очевидно, согласуется с наблюдениями за исключением того, что мы переоценили величину прецессии орбит планет на множитель порядка . Мы можем представить, как и венерианские теоретики, что пока идет обсуждение остаточных возмущений или пока делаются более точные измерения, разумно продолжить развитие теории в ее нынешней форме для того, чтобы обнаружить некоторые новые эффекты, которые могли бы быть проверены, или обнаружить скрытые противоречия теории.

Если мы сравниваем дифференциальные уравнения движения частиц в электрическом и гравитационном полях, мы обнаруживаем, что уравнения движения в гравитационном поле имеет качественно отличный новый признак;

Не только градиенты, но и сами потенциалы появляются в уравнениях движения

Таким образом, даже хотя дифференциальные уравнения для самих полей весьма близки, существует различие в их интерпретации. Например, эти уравнения не говорят одно и то же в области с постоянным потенциалом и в области с нулевым потенциалом, хотя ускорения в обоих случаях равны нулю. Во вселенной вклад в потенциал, обусловленный удаленными скоплениями, должен быть практически постоянным по большим областям пространства, так что используем такое приближение.

Вернемся к формулировке теории в терминах лагранжиана и вариационного принципа для того, чтобы увидеть новые соотношения с величайшей простотой и общностью. Будем предполагать, что в некоторой подобласти пространства гравитационный тензор зависит от координат и имеет следующее значение

(5.2.2)

Мы предполагаем отрицательный потенциал, обусловленный влиянием удаленных масс, . Имеем следующее выражение для действия

Очевидно, что простая подстановка восстанавливает выражение для интервала в его предыдущей алгебраической форме. Ясно, что влияние постоянного потенциала подобно изменению масштаба времени так, чтобы заставить физические процессы протекать более медленно в областях более низкого гравитационного потенциала.

Аргумент на языке только свободных частиц не является значимым, поскольку мы не можем утверждать, что скорость, при которой ничего не происходит, может меняться.

Мы должны взглянуть на поведение взаимодействующих частиц. С этой целью мы продолжаем использование нашей теории скалярного вещества; интеграл действия равен

(5.2.4)

где

(5.2.4)

Мы можем явно разделить пространственные производные и производные по времени в градиентах и также выделить время в элементе объема . Мы предполагаем, что поправки меньше 1, так что разложение разрешено, и мы получаем следующее выражение для интеграла действия

(5.2.5)

Снова оказывается, что при действие возвращается к своей первоначальной алгебраической форме. Ясно, что замедление времени имеет место для наших скалярных мезонов, представляемых Можно показать, что замедление времени должно иметь место для всех взаимодействий, безотносительно к точной природе лагранжиана. Мы можем доказать с помощью формулы Вентцеля (5.2.4) для Гравитационное взаимодействие может быть явно отделено от остальной части лагранжиана, какой бы он ни был

(5.2.6)

При использовании выражение (5.2.4) и из (5.2.2) так, что полный лагранжиан равен или

(5.2.7)

Предположим поэтому, что полный лагранжиан (включающий наш постоянный гравитационный потенциал) включает в себя только поле и его градиенты. Интеграл действия, выраженный через переменную t, по крайней мере, в первом порядке по , равен

так как

Результат всего этого состоит в том, что любые члены в лагранжиане, в которые включены градиенты по времени имеют свои собственные множители , так что подстановка в точности воспроизводит влияние постоянного гравитационного поля.

Следовательно, вся физика остается той же самой, за исключением замедления времени.

Гравитационные потенциалы отрицательны, так что часы должны были бы идти медленнее в том случае, если они приближаются ближе к массивному объекту, такому как звезда. Можно было бы задать вопрос о том, имеется ли возможность того, что величина будет отрицательной, так как Практически такой вопрос никогда не возникает, поскольку величина G очень мала. Для звезды с солнечной массой мы бы имели только если эта масса была бы сосредоточена внутри сферы с радиусом порядка 1.5 километров. Тем не менее, математическая возможность имеется в нашей теории, и мы будем обсуждать ниже возможность того, как даже в улучшенной теории возникают подобные трудности.

Таким образом, мы имеем новое предсказание наших гравитационных теорий, часы должны были бы идти более медленно в областях с более низким гравитационным потенциалом. Земляне провели такой эксперимент, в котором производилось испускание фотонов вблизи поверхности Земли с высоты 24 метров. Фотоны испускались на вершине и поглощались на дне; использовались предельно узкие линии, открытые Мессбауэром, связанные с ядерными переходами в кристаллах. Небольшое изменение в частоте, связанное с падением фотонов в гравитационном поле (1 часть из ), компенсируется искусственным эффектом Допплера. Когда поглощение, как функция относительных скоростей кристаллов, используется для того, чтобы определить сдвиг частоты, то результаты согласуются с теоретическими предсказаниями в пределах экспериментальной неопределенности порядка десяти процентов. Часы, которые идут более медленно в этом случае, являются ядерным устройством, которое производит фотоны с определенными частотами; относительная разность в частотах часов на вершине и на дне есть разность гравитационного потенциала, деленная на .

Такое предсказание сдвига частоты в действительности не требует приведенной техники нашей теории гравитации, так как это подразумевается в экспериментальных результатах Этвеша, что гравитационные силы (потенциалы) пропорциональны величине энергии. Таким образом, сдвиг частоты соответствует доли гравитационной энергии в энергии фотона. Согласно Этвешу, возбужденное ядро тяжелее на величину если - энергия возбуждения, поскольку, как мы знаем из ядерных экспериментов, его масса равна если М - масса в положении, когда ядро находится на поверхности Земли.

Если возбужденное ядро поднимается на высоту h, оно содержит энергии на величину больше, чем невозбужденное ядро, находящееся на нулевой высоте. Если мы возбуждаем ядро, находящееся в более низком положении, требуется только энергия После того, как более высоко расположенное ядро совершило переход, его полная энергия должна была бы превосходить полную энергию более низко расположенного ядра только на величину . Так как частота фотона связана с энергией соотношением частота испущенного фотона есть . Таким образом, очевидно, что сдвиг частоты требуется из закона сохранения энергии. Если такого сдвига частоты не было бы в подобной ситуации, мы могли бы сконструировать вечный двигатель, используя такие ядерные переходы. Мы возбуждаем ядро на вершине башни фотонами с энергией но мы получаем механическую энергию при опускании возбужденного ядра. Так как поднятие невозбужденного ядра требует затраты энергии только то мы получаем высвобождаемой энергии на каждом цикле! Тогда наша теория не является непротиворечивой, и это наводит на мысль, что сдвиг частоты, требуемый законом сохранения энергии, должен рассматриваться как общее свойство всех физических процессов, т.е. они протекают более медленно в областях с более низкими значениями гравитационного потенциала.

Здесь нет ничего похожего на "парадокс близнецов" в специальной теории относительности. Человек на вершине горы живет и стареет быстрее, чем мы, мы видим его движущимся быстрее. Когда он смотрит на нас, он видит нас, движущимися медленнее, чем он. Это не похоже на замедление времени при больших относительных скоростях, когда каждый наблюдатель видит другого движущимся медленнее. Однако не существует пути значительного увеличения нашего времени жизни, двигаясь в Долину Смерти, так как скорости изменения старения меняются очень мало. Тем не менее, мы должны были бы быть значительно более внимательными в будущем, говоря о возрасте объектов, таких как Земля, так как центр Земли должен бы быть на день или два моложе, чем ее поверхность.