6.5. Уравнение Эйнштейна для тензора энергии-импульса

Функционал F, который был только что выведен, дает результаты в венерианской теории гравитации, идентичные тем, которые были получены Эйнштейном. Если мы делаем разложение функционала, когда гравитационные поля слабы, мы получаем главные члены нашего разложения такие же, как в нашей более ранней теории.

Мы можем сказать, следовательно, что наша венерианская точка зрения была успешна в достижении нашей цели построения самосогласованной теории гравитации посредством успешных логических шагов, предполагаемых по аналогии, но без видимого требования сверхчеловечески острой интуиции. Сам Эйнштейн, конечно, пришел к тому же самому лагранжиану, но без помощи развитой теории поля, и я должен допустить, что у меня даже нет идеи, как он отгадал конечный результат. У нас было достаточно волнений при получении нашей окончательной теории, но я чувствую, что он создал свою теорию, плавая под водой, будучи с завязанными глазами и с руками, находящимися сзади! Тем не менее теперь, когда мы пришли к эквивалентной теории, мы откажемся от венерианской точки зрения и обсудим земную точку зрения согласно Эйнштейну.

Будем использовать следующее стандартное обозначение для трех тензоров, выведенных из нашего тензора умножением на тензор и свертыванием:

(6.5.1)

Величина есть тензор (тензор Римана). Он антисимметричен при перемене индексов , также антисимметричен при перемене и симметричен, если пара меняется с (тензор Риччи) - симметричен.

Вариация функционала F, описываемого соотношением (6.4.8), по отношению к приводит к следующему соотношению:

где Последняя величина в соотношении (6.5.2) есть тензор энергииимпульса нашей теории (см. соотношение ) и удовлетворяет следующему соотношению

(6.5.3)

если сделана замена как мы требовали это сделать. Отсюда следует, что полные уравнения гравитационного поля, правильные во всех порядках, являются следующими:

(6.5.4)

где - наш тензор энергии вещества. Это уравнение и есть уравнение, полученное Эйнштейном.