7.5. Геометрическая интерпретация метрического тензора

Тензор может иметь геометрическую интерпретацию. Для приобретения необходимой интуиции мы будем изучать вкратце значение метрического тензора в случае двух измерений, чтобы понять какие инварианты включены в теорию. В случае однородных гравитационных полей мы видели, что тензор описывает, как масштаб времени отличается при различных положениях точки в пространстве.

В более широком смысле этот тензор представляет, как масштабы меняются от точки к точке не только во времени, но также и при изменении пространственных координат. В ортогональных декартовых координатах двумерная длина дуги задается следующим соотношением

(7.5.1)

Если использовать на плоскости полярные координаты, то длина дуги задается соотношением:

(7.5.2)

Очевидно, что не имеет значения, какие символы мы используем для координат, и физика на плоскости должна быть одинакова независимо от того, используем мы декартовы координаты или полярные координаты для описания геометрии на плоскости. Это означает, что если мы находим, что описание длины дуги в некоторой системе, которую мы выбрали, корректно задается соотношением:

(7.5.3)

нет глубокого смысла в том, что кажется, будто длина х меняется при изменении координаты у, поскольку простое координатное преобразование сохраняет декартово выражение для длины дуги (7.5.1).

Теперь рассмотрим более интересный случай. Представим себе, что мы - жуки, ползающие по полу, который, как мы всегда предполагали, замощен квадратными кафельными плитками, и всю нашу жизнь мы думали, что геометрия пола правильно задается подсчетом плиток и использованием евклидовского правила (7.5.1), что интервалы или соответствуют величине длины плитки. Но некоторые остроумные жуки начали проверять это, используя линейки, и после серии измерений пришли к результату, что измеренные длины дуг соответствуют количеству плиток следующим образом:

где . Предположим, что эти остроумные жуки очень тщательно измеряли отношение длины окружности к величине радиуса круга, прикладывая свои линейки вдоль кривых с постоянным значением и от центра круга вдоль одной из осей. Их результаты дали бы следующие значения:

где .

Рис. 7.5.

Экспериментальный результат для отношения длины окружности к радиусу должен был бы давать в этом случае

Это отношение становится равным только в пределе, когда радиус окружности стремится к нулю. Именно это измеряемое соотношение и является существенным физическим результатом.

Эта частная модель, которую мы обсудили, имеет простую геометрическую интерпретацию, но мы снова подчеркиваем, что именно экспериментальные результаты очень важны и они полностью зависят от правильной формулы для длины дуги; и вовсе не имело бы значения, что мы не можем привести простую формулу геометрического смысла, который мы можем легко представить.

Мы можем сказать, что все это время жуки живут на поверхности сферы, не зная этого. Теперь, когда мы предположили это, мы легко понимаем, почему наши измерения окружностей давали частный результат, приведенный в соотношении (7.5.6). Если сфера имеет радиус , то результат, данный соотношением (7.5.6), представляет отношение длины окружности круга к длине вдоль поверхности меридиана, как показано на рис. 7.5.

Наша предыдущая точка зрения на гравитацию может быть сравнима с той, которая могла бы проводится более консервативными жуками. Кафельные плитки являются "реальными" квадратами, но линейки изменяются, если мы двигаем их от места к месту, поскольку имеется поле, которое может привести к этому эффекту. Наша более новая геометрическая точка зрения будет состоять в том, что мы не можем определять "кафельные плитки", как "реальные" квадраты; мы живем в мире, который, вообще говоря, неевклидов, имеет кривизну, которая измеряется проведением подходящих экспериментов. Нет нужды думать о процессах, как происходящих в пространстве, которое есть истинно евклидово, так как нет ничего физического, что могло бы быть даже измерено в этом воображаемом пространстве.

Кафельные плитки просто представляют нанесение координатных меток, и любое другое нанесение меток может быть также произведено, как и предыдущее.