4.3. Амплитуды для рассеяния (скалярная теория)

Амплитуда рассеяния, соответствующая обмену одним гравитоном, представлена на диаграмме, изображенной на рисунке 4.2, и может быть записана из исследования диаграммы, так как мы знаем форму пропагатора и для каждой вершины у нас есть член, описывающий взаимодействие, задаваемое лагранжианом (4.2.7). Заменим градиенты компонентами 4-импульса в импульсном представлении

(4.3.1)

так что член, описывающий взаимодействие, становится следующим для одной из вершин

(4.3.2)

Мы пишем подчеркивание под произведением для того, чтобы напомнить, что мы должны использовать соответствующим образом симметризованную версию, так как - симметричен. Более точно,

(4.3.3)

Для второй вершины нам также необходима "черта" для выражения, которое имеет следующий вид

(4.3.4)

Тогда полное выражение для амплитуды есть следующее

(4.3.5)

Выбранные обозначения ("черты", "подчеркивания" и т.п.) приведут к упрощениям в алгебраических манипуляциях в более сложных вычислениях, которые необходимо будет выполнять, так что стоит ими воспользоваться.

Наша теория дала нам выражение для амплитуды гравитационного рассеяния одной частицы другой. Для того, чтобы вычислить что-нибудь, что имеет измеримую величину, мы должны придти к очень большим значениям массы, и для того, чтобы наблюдать эффект, который не определяется ньютоновским законом, нам необходимо использовать движения со скоростями, близкими к скорости света. Мы можем, например, вычислить угол отклонения тела малой массы, движущегося с очень большой скоростью (), которое отклоняется звездой, такой как Солнце.

Здесь нам необходимо обосновать замену суммы амплитуд от всех частиц в звезде одной амплитудой, соответствующей массе М; подобная замена является аппроксимацией, но она дает правильный ответ в первом порядке некоторого типа. Такой угол больше, чем его величина в рамках ньютоновской теории, и отличается на множитель ).

Нельзя говорить о том, что этот результат соответствует отклонению света Солнца, потому что фотон не является скалярной частицей, отсюда следует, что он не может представляться скалярным массовым полем . Для рассеяния двух идентичных частиц такая амплитуда должна содержать обменный член, но для случая звезды - частицы, очевидно, не идентичны.

В нашей теории до сих пор не рассматривалась возможность того, что мы могли бы добавить член с нулевой дивергенцией к нашему тензору давления это соответствовало бы другому распределению в пространстве масс и давлений. Этот и связанные с ним вопросы в дальнейшем будут подробно обсуждаться. Даже для скалярной материи, как мы увидим, у нас есть действительная двусмысленность при определении тензора энергии-импульса . Эта трудность также возникает в электродинамике, когда мы пытаемся записать взаимодействие фотонов с заряженными векторными мезонами.