12.4. Измерения космологических расстояний

Давайте представим себе, что мы пытаемся определить расстояние до удаленной галактики, рассматривая ее видимый угловой диаметр. Предположим, что галактика имеет диаметр L; тогда, если мы наблюдаем угловую протяженность расстояние до галактики должно задаваться следующим соотношением

(12.4.1)

Предполагается, что L есть длина в равные моменты времени, т.е. Мы предполагаем, что величина остается постоянной и что может рассматриваться как инфинитезимальная величина. Интервал является времени-подобным:

так

(12.4.3)

При диапазоне значений расстояний много меньших, чем величина будет соответствовать расстоянию, измеряемому таким способом с масштабным множителем Мы видим также, что при использовании расстояний, измеряемых таким способом, красное смещение удаленных галактик должно быть пропорционально их расстоянию от нас (закон Хаббла) как результат, получаемый в первом порядке.

Другой достаточно общий метод оценивания расстояний основан на использовании видимой яркости галактик. Предполагается, что галактики имеют постоянную среднюю "стандартную" яркость, что соответствует испусканию заданного числа фотонов заданной энергии в каждую секунду. Этот метод аналогичен оцениванию расстояний по методу стандартной свечи, при котором говорится, что = (Стандартная интенсивность/Видимая интенсивность), поскольку интенсивность удовлетворяет закону обратных квадратов. Для нашей нынешней задачи видимый телесный угол есть где L - есть диаметр галактики; мы должны включить также множитель, учитывающий замедление времени, поскольку N фотонов, испущенных в нашем направлении в интервале времени должны будут наблюдаться в интервале связанном с интервалом соотношением (12.3.3). Если мы сравниваем интенсивности, мы должны включить множитель, который учитывал бы уменьшение энергии фотонов вследствие наличия красного смещения, выражение для которого приведено в соотношении (12.3.4). Конечный результат, описывающий соотношение между расстоянием D и , есть

Соотношение (12.4.4) отличается от соотношения (12.4.3) на множитель так что числа и D не совпадают. Тем не менее, возможно связать все это вместе и получить выражение для в идеальном случае; эти рассмотрения являются стимулом для наблюдений, которые делаются с помощью -дюймового телескопа на горе Паломар; большую часть времени этого телескопа астрономы используют, наблюдая галактики, измеряя их диаметры, интенсивности, красные смещения в целях поиска наилучншх обоснований характера функции в том случае, если рассматриваемая в настоящее время модель является правильным описанием эволюции вселенной.

Если мы задаем вопрос о числе галактик, которым следовало бы находиться в оболочке толщины на расстоянии от нас, мы получим, конечно, различные выражения в зависимости от того, означает ли расстояние -типа или расстояние -типа. Несмотря на это, ответ оказывается следующим

Число галактик между в предположении, что галактики имеют одну и ту же среднюю плотность массы при всех значениях радиуса (К - константа).

Должно быть подчеркнуто, что все такие методы исследования структуры вселенной имеют встроенные в теорию предположения, которые могут быть в большой степени неверными. При определении расстояния из видимой яркости галактик предполагается, что нет существенного изменения яркости галактики с возрастом. Некоторые астрономы пытались вычислить сложные поправки для предполагаемой эволюции звезд, но по правде говоря, мы не знаем точно, как интенсивности эволюционируют в старой галактике. Должны ли мы предпочитать измерять диаметры галактик? Нет, поскольку не только трудно измерять диаметры для удаленных галактик, но мы также не знаем увеличиваются или уменьшаются диаметры галактик с возрастом. Дальнейшие трудности связаны с тем, что когда галактики становятся очень тусклыми, то почти невозможно быть уверенным в том, как много мы их теряем вследствие их тусклости. Эти трудности не затрагивают полученных результатов при условии, что мы предполагаем, что модель Хойла правильно описывает эволюцию вселенной; эта модель является единственной полностью детализированной космологической моделью, в рамках этой модели безоговорочно определяется, что галактики в среднем должны быть одинаковыми, так к вселенная находится в стационарном состоянии.

12.5. О характеристиках закрытой или открытой вселенной

Детальная динамика моделей вселенной (называемых моделями Фридмана, когда и моделями Леметра в противном случае) может быть изучена на языке компонентов тензора энергии-импульса. Если мы вычисляем эти компоненты из тензора кривизны, выведенного из выражения для метрики (12.2.3), мы получаем для компонента с индексами 44

(12.5.1)

где - средняя плотность вещества.

Для другого диагонального элемента имеется следующее выражение

(12.5.2)

В этом соотношении величина есть усредненное давление. Оно включает в себя все давления, обычное газовое давление, давление излучения и любое другое давление, обусловленное каким бы то ни было другим процессом. Для нашего обсуждения мы будем предполагать, что газовое давление настолько много больше любого другого давления, что всеми другими видами давления можно будет пренебречь. Но это давление является очень маленьким, поскольку оно по порядку величины где - средняя скорость газа, которая является совершенно малой величиной и мы будем предполагать, что оно не играет роли при определении динамики вселенной. Мы получаем описание динамики прямо из плотности , требуя, чтобы тензор Т удовлетворял условию равенства нулю дивергенции. В результате получаем следующее соотношение между

(12.5.3)

Это уравнение и есть как раз . Другая независимая ковариантная дивергенция дает то есть то, что и ожидалось, так как вселенная - изотропна. Этот результат имеет очень простую структуру и он имеет очевидное классическое значение, если мы называем R радиусом вселенной. Величина пропорциональна полной массе, которая есть содержание энергии в однородном шаре с радиусом R. Член, стоящий в правой части уравнения (12.5.3), определяет скорость совершения работы, так как он представляет собой давление, умноженное на объем. Это уравнение имеет точно такую же структуру, если вместо целой вселенной мы возьмем меньшую область, радиус которой равен величине , пропорциинальной R. В этом случае

(12.5.4)

Если то количество вещества внутри сферы не меняется;

(12.5.5)

есть постоянная величина. Мы можем решить эти уравнения для того, чтобы получить

(12.5.6)

Это дифференциальное уравнение может быть решено для того, чтобы найти функцию .

Рис. 12.2.

Поведение возможных решений легко понять, оставаясь все еще в пределах ньютоновской механики. То, что может происходить, могло бы быть легко рассмотрено на языке того, что может происходить с оболочкой толщины вне сферически симметричного распределения (см. рис. 12.2). Может быть рассмотрено, каким образом происходит свободное падение в поле массы, находящейся внутри, которая есть постоянная величина, и это движение описывается уравнением свободного падения тела. Закон сохранения энергии говорил бы нам в ньютоновской механике, что

В зависимости от величины этой энергии, возможны три типа решений.

1) Если энергия положительна, то оболочка продолжает расширение вечно и сохраняет расширение бесконечное время.

2) Если энергия равна нулю, то оболочка расширяется асимптотически к статической вселенной бесконечного разжижения.

3) Если энергия отрицательна, то движение ограничено и циклично.

Эти решения ньютоновской задачи соответствуют возможным типам вселенной; 1) соответствует открытой вселенной с отрицательной кривизной; 3) соответствует замкнутой вселенной с положительной кривизной.

Почему эти ньютоновские решения оказались достаточно хорошими для того, чтобы охарактеризовать ответы на наши вопросы? Это происходит потому, что в сферически симметричной задаче движение конечной оболочки вещества определяется только массой, находящейся внутри. Масса, находящаяся вне, образует внутри пространство, эквивалентное плоскому. Таким образом, рассматривая движение конечной оболочки, мы получаем описание поведения всей вселенной. Здесь мы снова видим мощь предположения о космологической однородности.