4.6. Классические уравнения движения гравитирующей частицы

Для того, чтобы вычислить некоторые классические эффекты в нашей теории, например, орбиты планет, движущихся вокруг звезды, нам необходимо свести нашу квантовую теорию к ее классической форме. Это возможно сделать, выписывая классическую теорию, как результат вариационного принципа на интеграле по траекториям, который заключает в себя действия или временной интеграл от лагранжиана. Движение, описываемое частицей, задается минимумом интеграла по траекториям, например, для свободной частицы это минимум интеграла

(4.6.1)

Что-то должно быть добавлено к интегральному выражению для того, чтобы представить гравитационные эффекты. Имеется более, чем один вариационный принцип, который может дать классическую теорию, так что мы будем использовать вариационный принцип, который дает более удобные интегралы по траекториям (фактически, принцип, приводящий к уравнению Клейна - Гордона методом интегрирования по траекториям в квантовой механике).

Для заряженных частиц мы можем получить уравнения движения, вариируя интеграл

После того, как мы проделаем некоторые преобразования, приходим к следующему соотношению

где есть ротор от вектора А. Из этого уравнения, умножая на так как тензор - антисимметричен, мы находим, что

обращается в нуль, или

есть константа, так что величина а пропорциональна собственному времени (и мы можем взять ее равным собственному времени, если то есть масса покоя частицы). Далее мы должны включить наш тензор в подынтегральное выражение соответствующим образом для того, чтобы получить правильные гравитационные уравнения. В электродинамике вектор, связанный с полем, есть просто производная смещения по отношению к 4-скаляру, т.е. скорость Мы предполагаем, что тензор Тесть не что иное, как тензор, порожденный двумя такими скоростями, и подбираем мультипликативную константу так, что компонента с индексами 44 правильно описывает плотность энергии. Мы полагаем

где "собственное время". Компонент с индексами 44 есть на самом деле плотность энергии; он имеет множитель для того, чтобы учесть увеличение энергии со скоростью, и другой множитель для того, чтобы учесть одновременное сокращение объема из-за лоренцева сжатия.

Следовательно, интеграл от лагранжиана или действие, которое должно быть провариировано, имеет следующий вид:

(4.6.5)

Введем новый тензор для того, чтобы записать действие в более компактном виде

(4.6.6)

так что действие может быть записано в виде

(4.6.7)

Начиная с последнего соотношения и ниже, обозначаем производную по отношению к параметру а знаком "штрих". Поскольку мы вариируем функционал (действие) по отношению к координатам траектории, мы получаем два равных члена от каждого из множителей и один от тензора уравнение движения имеет вид

Существуют другие способы записи уравнений, которые могут быть иногда полезны. Сначала мы перегруппируем члены, в которых имеются две скорости, с одной стороны равенства

(4.6.9)

Теперь мы расщепляем второй член на две равные части и переобозначаем индексы суммирования в одной части для того, чтобы получить комбинацию, которая задается специальным символом, поскольку он часто повторяется

Уравнение движения, выраженное через такую скобку (называемую ковариантными коэффициентами связности), становится довольно простым

(4.6.11)

Имеется одно следствие этого уравнения, которое немедленно получается дифференцированием по параметру а произведения

(4.6.12)

Если мы перепишем произведение в первом члене в правой части его выражением (4.6.9) и переобозначим индексы суммирования, мы находим, что производная тождественно равна нулю. Таким образом, произведение есть скалярная константа. Если мы определим новый параметр s следующим соотношением

то s - аналог собственного времени для задач гравитации. Так как есть константа, мы выберем ее равной единице и обозначим ниже все производные по переменной s точкой. В частности, тогда

(4.6.13)