3.7. Определение символов

Манипуляции с тензорными величинами становятся все более скучными в той работе, которой мы занимаемся; и для того, чтобы не увязнуть в алгебре со многими индексами, могут быть разработаны некоторые упрощающие приемы. В настоящее время не очевидно, что определения, которые мы делаем, полезны; подтверждение этому проявится в их более позднем использовании.

Определим оператор "черта" для произвольного тензора второго ранга следующим образом:

(3.7.1)

Для симметричного типа, такого как h, это правило проще, потому что два члена в первой скобке равны

(3.7.2а)

Заметим, что оператор "черта" является своим собственным обратным оператором для симметричного тензора.

Определим также использование неиндексированного тензорного символа, чтобы представить его след

(3.7.3)

Используя такие обозначения, можно записать полевые уравнения (3.6.2) с учетом (3.6.5) в симметризованном варианте

(3.7.4)

Для того, чтобы получить соотношение для мы просто берем оператор "черта" от обеих частей последнего уравнения.

Следующим шагом мы попробуем найти что-либо аналогичное свойствам калибровочной инвариантности электродинамики для того, чтобы упростить решение уравнения (3.7.4). В электродинамике полевые уравнения имеют вид:

(3.7.5)

Следствие которых состоит в возможности описания полей так же хорошо на языке нового четыре вектора , получаемого из вектора добавлением градиента скалярной функции X

(3.7.6)

Какое свойство было бы аналогичным свойством тензорного поля? Мы предполагаем, что следующее свойство может быть справедливым: (мы должны быть внимательны для того, чтобы сохранить наши тензоры симметричными) подстановка

(3.7.7)

в левую часть уравнения (3.7.4) не меняет вид этого уравнения. Доказательство этого факта оставляем в качестве упражнения.

С использованием свойства калибровочной инвариантности, было бы проще получить уравнения для полей в определенной калибровке, что более подходяще, что-то типа лоренцевой калибровки в электродинамике. По аналогии с выбором

(3.7.8)

мы сделаем следующий выбор (который будем называть условием Лоренца)

(3.7.9)

Таким образом, получаем полевые уравнения, связывающие оператор от тензора Т с полями

(3.7.10)

или решая Немедленно получаем, что амплитуда взаимодействия такого тензора h с другим источником от в лагранжиане, имеет следующее выражение

Итак, мы получили в точности то, что мы получили прежде при обсуждении амплитуд непосредственно.